حل مسألة رياضية: تفاصيل وقوانين (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمتا $x$ و $y$ تحققان المعادلتين $x^2 + y^2 = 16$ و $xy = 3$ على التوالي، فإننا نريد حساب قيمة التعبير $(x – y)^2$.

لحسن الفهم، سنبدأ بإعادة صياغة المعادلتين بشكل مترجم:

إذا كانت $x$ و $y$ هما حلول للنظام المكون من المعادلات:
$x^2 + y^2 = 16$
$xy = 3$

فإن السؤال يتعلق بحساب قيمة التعبير:
$(x – y)^2$

الآن سنقوم بحساب قيمة $(x – y)^2$ باستخدام المعلومات المعطاة:

ابدأ بفك المعادلتين المعطاة. يمكننا استخدام الطريقة التقليدية لحل المعادلات التربيعية. إذا كانت $x^2 + y^2 = 16$، فإنه يمكننا كتابتها بشكل معادلتين منفصلتين:
$x^2 + y^2 = 16 \implies x^2 = 16 – y^2$

ثم نستخدم هذا في المعادلة الثانية $xy = 3$:
$x(16 – y^2) = 3$

الآن نحل المعادلة للعثور على قيم $x$ و $y$.

(تابع الحل بمراعاة القوانين الجبرية والتبسيط للوصول إلى القيم النهائية)

بالطبع، سأواصل الحل بمزيد من التفاصيل، مع استخدام قوانين الجبر المعتمدة في الحسابات.

لنواصل الحل:

نبدأ بفك المعادلة $x^2 + y^2 = 16$ إلى معادلتين منفصلتين:
$x^2 = 16 – y^2$

ثم نستخدم هذا في المعادلة الثانية $xy = 3$:
$x(16 – y^2) = 3$

الآن سنقوم بتوسيع المعادلة وترتيبها للوصول إلى معادلة رباعية في $y$، ونحاول حلها. سنستخدم في هذه العملية قوانين الجبر مثل قانون توسيع الضرب وقوانين التبسيط.

$16x – xy^2 = 3$

ثم نستخدم معلومة $xy = 3$ لتبسيط المعادلة:
$16x – 3y^2 = 3$

نقوم بترتيب المعادلة بحيث نجمع كل المصطلحات في جهة واحدة:
$16x – 3y^2 – 3 = 0$

الآن، لحل المعادلة الرباعية، يمكننا استخدام القوانين المتعلقة بحل المعادلات الرباعية. في هذه المرحلة، قد يتطلب الأمر استخدام الجذور التربيعية أو طرق حسابية متقدمة للعثور على القيم الصحيحة لـ $y$ وعندما نحدد قيم $y$، يمكننا استخدامها لحساب قيم $x$ المقابلة.

يرجى العلم أن هذا هو النهج العام لحل المسألة. يعتمد الحل الدقيق على الخطوات الخاصة بحل المعادلة الرباعية والتعامل مع القيم المربعة والجذور.