حل مسألة رياضية: تحليل وتفسير (مسألة رياضيات)

تعريف الدالة $f(x)$ هو $f(x) = 2\sqrt{x} + \frac{12}{\sqrt{x}}$، وتعريف الدالة $g(x)$ هو $g(x) = 2x^2-2x-3$. نريد حساب قيمة $f(g(3))$، أي نستبدل قيمة $x$ في $g(x)$ بالقيمة $x = 3$، ثم نأخذ الناتج ونستخدمه كقيمة $x$ في $f(x)$.

لذا:
$g(3) = 2(3)^2 – 2(3) – 3 = 18 – 6 – 3 = 9$

الآن، نستخدم هذه القيمة في $f(x)$:
$f(g(3)) = f(9) = 2\sqrt{9} + \frac{12}{\sqrt{9}}$

نبسط العبارة:
$f(g(3)) = 2 \times 3 + \frac{12}{3} = 6 + 4 = 10$

إذاً، قيمة $f(g(3))$ هي 10.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة. سنقوم بحساب قيمة $g(3)$ أولاً ثم نستخدم هذه القيمة في $f(x)$ للحصول على الإجابة.

الدالة $g(x)$ هي معادلة من الدرجة الثانية، ونعلم أن الشكل القياسي للمعادلة الثانية هو $ax^2 + bx + c$. لذا، نقوم بتحويل $g(x)$ لهذا الشكل:

$g(x) = 2x^2 – 2x – 3$

نقوم بتحليل المعاملات $a$ و $b$ و $c$ في المعادلة، حيث $a = 2$ و $b = -2$ و $c = -3$.

نستخدم القاعدة الرياضية التي تقول أن لدينا معادلة للقوانين الأعلى، وهي $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. نستخدم هذه القاعدة لتبسيط المعادلة $g(x)$ بطرحها من الداخل:

$g(x) = (x – 1)^2 – 4$

الآن، نستبدل قيمة $x = 3$ في $g(x)$:

$g(3) = (3 – 1)^2 – 4 = 2^2 – 4 = 4 – 4 = 0$

الآن أصبح لدينا قيمة $g(3)$ هي 0. الخطوة التالية هي استخدام هذه القيمة في $f(x)$:

$f(g(3)) = f(0) = 2\sqrt{0} + \frac{12}{\sqrt{0}}$

نعلم أن أي جذر تربيعي للصفر يساوي الصفر، وأي قسمة على الصفر غير معرفة، لذا:

$f(g(3)) = 2 \times 0 + \frac{12}{0}$

وهنا يكون المقام في الكسر هو الصفر، الأمر الذي يجعل الكسر غير محدد. لذا، الجواب النهائي هو أن $f(g(3))$ غير محددة.

لقد استخدمنا في هذا الحل قوانين الجبر مثل تحليل المعادلة الثانية، وقوانين الأعداد اللاسلبية والقوانين الخاصة بالجذور والقوانين الأساسية للجبر.