مسائل رياضيات

حل مسألة رياضية باستخدام اللوغاريتمات والتكامل (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 25/12/2023
0

المسألة:

لنكن $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{2018}$ جذور المعادلة التالية:
x2018+x2017+⋯+x2+x−1345=0.x^{2018} + x^{2017} + \dots + x^2 + x – 1345 = 0.
نريد حساب
∑n=12018X11−an.\sum_{n = 1}^{2018} X \frac{1}{1 – a_n}.
إذا كانت الإجابة لهذا السؤال هي 3027، فما هو قيمة المتغير المجهول X؟

مواضيع ذات صلة

الحل:

لنقوم أولاً بكتابة المعادلة الأصلية بشكل مكرر:
x2018+x2017+⋯+x2+x−1345=0.x^{2018} + x^{2017} + \dots + x^2 + x – 1345 = 0.

الآن، لنفك المعادلة الأصلية إلى عوامل. يمكننا ملاحظة أن الجذر 1 هو حلاً لهذه المعادلة، لذلك يمكننا كتابة:
(x−1)(x2017+2x2016+3x2015+⋯+2017x+1345)=0.(x – 1)(x^{2017} + 2x^{2016} + 3x^{2015} + \dots + 2017x + 1345) = 0.

لذلك، نحن الآن نملك عاملاً آخر يعتمد على القوة الأولى لـ x−1x – 1.

الآن، نريد حساب التكامل التالي:
∫11−x dx.\int \frac{1}{1 – x} \,dx.

يمكننا حساب هذا التكامل باستخدام التكامل اللوغاريتمي:
∫11−x dx=−ln⁡∣1−x∣+C,\int \frac{1}{1 – x} \,dx = -\ln|1 – x| + C,
حيث C هو ثابت التكامل.

الآن، نعود إلى المجموع الأصلي:
∑n=12018X11−an=X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣+C.\sum_{n = 1}^{2018} X \frac{1}{1 – a_n} = X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| + C.

وبما أن هذا يساوي 3027، نحصل على:
X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣+C=3027.X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| + C = 3027.

لكننا لا نعلم قيمة C، لذلك لنقم بتجميع الجزء الأول من المجموع ونترك C كمتغير:
X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣+C.X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| + C.

الآن، إذا كان هذا يساوي 3027، فإننا نحصل على معادلة:
X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣=3027−C.X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| = 3027 – C.

ولكن، كما ذكرنا أعلاه، نحن لا نعلم قيمة C، لذا نتركها كمتغير. إذا كان السؤال يتطلب قيمة محددة لـ X، فإننا لا يمكننا حسابها بشكل نهائي بدون قيمة محددة لـ C.

وبالتالي، القيمة المجهولة X لا يمكن تحديدها بدقة دون مزيد من المعلومات حول C.

المزيد من المعلومات

المسألة:

لنكن $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{2018}$ جذور المعادلة التالية:
x2018+x2017+⋯+x2+x−1345=0.x^{2018} + x^{2017} + \dots + x^2 + x – 1345 = 0.
نريد حساب
∑n=12018X11−an.\sum_{n = 1}^{2018} X \frac{1}{1 – a_n}.
إذا كانت الإجابة لهذا السؤال هي 3027، فما هو قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:

لنقوم أولاً بكتابة المعادلة الأصلية بشكل مكرر:
x2018+x2017+⋯+x2+x−1345=0.x^{2018} + x^{2017} + \dots + x^2 + x – 1345 = 0.

المعادلة يمكن تفكيكها على النحو التالي:
(x−1)(x2017+2x2016+3x2015+⋯+2017x+1345)=0.(x – 1)(x^{2017} + 2x^{2016} + 3x^{2015} + \dots + 2017x + 1345) = 0.

لدينا الآن جزء من المعادلة يعتمد على x−1x – 1، ولنواصل بحساب التكامل:
∫11−x dx=−ln⁡∣1−x∣+C,\int \frac{1}{1 – x} \,dx = -\ln|1 – x| + C,
حيث C هو ثابت التكامل.

الآن، نعود إلى المجموع الأصلي:
∑n=12018X11−an=X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣+C.\sum_{n = 1}^{2018} X \frac{1}{1 – a_n} = X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| + C.

وبما أن هذا يساوي 3027، نحصل على:
X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣+C=3027.X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| + C = 3027.

لكننا لا نعلم قيمة C، لذا نتركها كمتغير. إذا كان السؤال يتطلب قيمة محددة لـ X، فإننا لا يمكننا حسابها بشكل نهائي بدون قيمة محددة لـ C.

للوصول إلى قيمة X، يمكننا النظر إلى الجزء الذي يعتمد على x−1x – 1 في المعادلة الأصلية. يبدو أن لدينا معامل X يظهر في مضاعفة اللوغاريتم، لذا قد يكون لدينا:
X∑n=12018−ln⁡∣1−an∣=X⋅(ln⁡∣1−a1∣+ln⁡∣1−a2∣+⋯+ln⁡∣1−a2018∣).X \sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| = X \cdot (\ln|1 – a_1| + \ln|1 – a_2| + \dots + \ln|1 – a_{2018}|).

لذلك، يمكننا تقسيم المعادلة على X:
∑n=12018−ln⁡∣1−an∣=(ln⁡∣1−a1∣+ln⁡∣1−a2∣+⋯+ln⁡∣1−a2018∣)=3027−CX.\sum_{n = 1}^{2018} -\ln|1 – a_n| = (\ln|1 – a_1| + \ln|1 – a_2| + \dots + \ln|1 – a_{2018}|) = \frac{3027 – C}{X}.

في هذا السياق، يمكننا أن نستنتج أن المعامل الذي يظهر أمام اللوغاريتم هو الناتج من قسمة 3027−C3027 – C على X.

القوانين المستخدمة:

  1. تفكيك المعادلة:
    نستخدم خاصية تفكيك المعادلة للبحث عن جذورها وتقسيمها إلى عوامل.

  2. تكامل اللوغاريتم:
    نستخدم تكامل اللوغاريتم لحساب التكامل ∫11−x dx\int \frac{1}{1 – x} \,dx.

  3. الجمع والطرح في التكامل:
    نستخدم قاعدة الجمع والطرح في حساب مجموعة من التكاملات.

  4. الخوارزمية اللوغاريتمية:
    نستخدم خوارزمية اللوغاريتم للتعبير عن التكامل اللوغاريتمي والعلاقة بين اللوغاريتمات.

  5. المتغيرات المجهولة:
    نستخدم المتغيرات المجهولة لتمثيل القيم التي نريد حسابها، ونقوم بتحليل العلاقات بينها.

يرجى مراعاة أن القيمة النهائية للمتغير X لا يمكن تحديدها بشكل دقيق دون قيمة محددة للثابت C.

اخر تحديث 25/12/2023
0