حل مسألة رياضية: العدد وعكسه (مسألة رياضيات)

عندما نقوم بإضافة واحد إلى عكس قيمة معينة نحصل على $\frac{7}{3}$. ما هي قيمة تلك العدد بالكسر المعتاد؟

لنقم بتمثيل العدد المطلوب بواسطة $x$. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$x + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}$

الآن سنقوم بحل المعادلة. أولاً، نقوم بضرب كل طرف في المعادلة بمضاعف القاسم المشترك الأصغر للأعداد الأصلية وهو $3x$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$3x \times \left( x + \frac{1}{x} \right) = 3x \times \frac{7}{3}$

بعد الضرب، نحصل على:

$3x^2 + 3 = 7x$

ثم، نقوم بترتيب المعادلة بحيث يكون لدينا معادلة من الدرجة الثانية:

$3x^2 – 7x + 3 = 0$

الآن، يمكننا حل المعادلة السابقة باستخدام الطريقة القياسية لحل المعادلات من الدرجة الثانية. يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث $a = 3$، $b = -7$، و $c = 3$، في المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$.

الآن، سنقوم بحساب قيم $b^2 – 4ac$:

$b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4 \times 3 \times 3 = 49 – 36 = 13$

الآن، نحسب الجذر التربيعي للقيمة $b^2 – 4ac$، الذي يساوي تقريبًا $\sqrt{13}$.

بعد ذلك، نقوم بحساب قيمتي $x$ باستخدام الصيغة العامة:

$x = \frac{{-(-7) \pm \sqrt{13}}}{{2 \times 3}}$

الآن، لنحسب القيم:

$x = \frac{{7 \pm \sqrt{13}}}{{6}}$

لكن، العدد لديه جذر حقيقي موجب، لذا يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

$x = \frac{{7 + \sqrt{13}}}{{6}}$ أو $x = \frac{{7 – \sqrt{13}}}{{6}}$

هذه هي الإجابتان الممكنتان للمعادلة.

لحل المسألة التي تتعلق بإيجاد العدد الذي هو الناتج من جمع العدد بعكسه والحصول على الناتج $\frac{7}{3}$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تمثيل العدد المجهول:
   دعنا نفترض أن العدد الذي نبحث عنه يُمثل بالحرف $x$.

2. كتابة المعادلة:
   نعرف أن العدد بعكسه يمثل $\frac{1}{x}$. والمعطى في المسألة هو أن مجموع العدد وعكسه يساوي $\frac{7}{3}$. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
   $x + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}$

3. تطبيق القوانين والخطوات الحسابية:
   نحتاج إلى حل المعادلة الثانية درجة. يمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب كل جانب من المعادلة بـ $3x$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى، وذلك لأن أصغر مضاعف مشترك للأعداد الأصلية هو $3x$:
   $3x \times \left( x + \frac{1}{x} \right) = 3x \times \frac{7}{3}$
   وبذلك نحصل على:
   $3x^2 + 3 = 7x$

4. ترتيب المعادلة:
   الآن، نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون في شكل قياسي للمعادلات الثانية درجة:
   $3x^2 – 7x + 3 = 0$

5. حل المعادلة:
   لحل المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$
   حيث $a = 3$، $b = -7$، و $c = 3$ في المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$.

6. حساب القيم:
   نحسب قيمة $b^2 – 4ac$ ونقوم بتطبيق الصيغة للحصول على القيم الممكنة لـ $x$.

7. التحقق من الحلول:
   بعد الحصول على الحلول، يمكن التحقق منها عن طريق استبدالها في المعادلة الأصلية للتأكد من صحتها.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية المعتمدة، يمكننا حل المسألة والوصول إلى القيم الممكنة للعدد المطلوب.