حل مسألة رياضية: الجمع الهندسي والمجاهيل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
$\frac{2^1}{4^1 – 1} + \frac{2^2}{4^2 – 1} + \frac{2^4}{4^4 – 1} + \frac{2^8}{4^8 – X + \cdots}$

الحل:
لنقوم بحساب قيمة كل جزء في المسألة على حدة. نبدأ بالجزء الأول:
$\frac{2^1}{4^1 – 1} = \frac{2}{3}$

الآن، نتجه إلى الجزء الثاني:
$\frac{2^2}{4^2 – 1} = \frac{4}{15}$

والجزء الثالث:
$\frac{2^4}{4^4 – 1} = \frac{16}{255}$

وأخيراً، الجزء الأخير الذي يحتوي على المتغير $X$:
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots}$

المعلومة المعطاة هي أن مجموع هذه الأقسام يكون 1:
$\frac{2}{3} + \frac{4}{15} + \frac{16}{255} + \frac{2^8}{4^8 – X + \cdots} = 1$

نقوم بحساب المجموع الجزئي للأقسام الثلاثة الأولى:
$\frac{2}{3} + \frac{4}{15} + \frac{16}{255} = \frac{642}{255}$

الآن، نستخدم هذا الناتج لحساب قيمة الجزء الأخير:
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots} = 1 – \frac{642}{255}$

نبسط الكسر:
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots} = 1 – \frac{214}{85}$

الآن نضيف $X$ للمعادلة ونحسبه:
$4^8 – X = 85 \times 2^8 – 214$
$4^8 – X = 21760 – 214$
$4^8 – X = 21546$
$X = 4^8 – 21546$

وبذلك، تكون قيمة المتغير $X$ هي $21546$.

لحل هذه المسألة الرياضية، سنبدأ بتحليل الجمع الذي تم تقديمه:

$\frac{2^1}{4^1 – 1} + \frac{2^2}{4^2 – 1} + \frac{2^4}{4^4 – 1} + \frac{2^8}{4^8 – X + \cdots}$

للتسهيل، سنقوم بتجزئة المعادلة إلى جزئين:

الجزء الأول:
$\frac{2^1}{4^1 – 1} + \frac{2^2}{4^2 – 1} + \frac{2^4}{4^4 – 1}$

الجزء الثاني:
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots}$

للجزء الأول، سنستخدم صيغة جمع المجموعات الهندسية المتسلسلة. قانون جمع المجموعات الهندسية للنواتج متباينة:

للجزء الأول، نستخدم الصيغة:
$S = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$
حيث:

• $a$ هو العنصر الأول (هنا $2^1$),
• $r$ هو النسبة (هنا $\frac{4}{3}$),
• $n$ هو عدد العناصر (هنا $3$).

نحسب قيمة الجزء الأول:
$S_1 = \frac{2(1 – \left(\frac{4}{3}\right)^3)}{1 – \frac{4}{3}} = \frac{2(1 – \frac{64}{27})}{\frac{-1}{3}} = \frac{2(\frac{27 – 64}{27})}{\frac{-1}{3}} = \frac{2(\frac{-37}{27})}{\frac{-1}{3}} = \frac{74}{9}$

الآن، بمعرفة أن المجموع الكلي للمسألة يساوي 1، يمكننا حساب الجزء الثاني:
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots} = 1 – \frac{74}{9}$

نبسط الجهة اليمنى:
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots} = \frac{9}{9} – \frac{74}{9}$
$\frac{2^8}{4^8 – X + \cdots} = \frac{-65}{9}$

الآن، نحسب قيمة $X$ باستخدام هذا الناتج:
$4^8 – X = 65 \times 2^8$

نقوم بتبسيط الجهة اليسرى:
$4^8 – X = 65 \times 256$
$4^8 – X = 16640$

وبذلك، نحسب قيمة $X$:
$X = 4^8 – 16640$
$X = 21546$

القوانين المستخدمة:

1. قانون جمع المجموعات الهندسية للنواتج متباينة.
2. قانون تبسيط الكسور.