حل مسألة رياضية: البحث عن قيمة ab (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كانت قيمتا $a$ و $b$ مجموعهما تساوي 3، وقيمة مجموع التكعيب لكل من $a$ و $b$ تساوي 81، فما قيمة حاصل ضربهما $ab$؟

الحل:
لنحل هذه المسألة، يمكننا استخدام معادلات حلا المعادلات الخطية، وذلك بالاستعانة بالمعادلة الأولى $a+b=3$ للتعبير عن إحدى الحدود. يمكننا حساب قيمة $a$ أو $b$ عن طريق استبدال إحدى القيم في المعادلة الثانية.

نقوم بتحليل المعادلة الثانية $a^3+b^3=81$ باستخدام صيغة مجموعة التكعيب:
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

نعلم أن $a+b=3$، لذلك يمكننا استخدام ذلك لتبسيط المعادلة:
$a^3+b^3 = 81 \implies 3(a^2-ab+b^2) = 81$

نقوم بتبسيط المعادلة:
$a^2-ab+b^2 = 27$

الآن، لدينا نظامين من المعادلات:
$\begin{cases} a+b = 3 \\ a^2-ab+b^2 = 27 \end{cases}$

نستخدم المعادلة الأولى للحصول على قيمة إحدى المتغيرات، مثل $a$:
$a = 3-b$

نقوم بتعويض قيمة $a$ في المعادلة الثانية:
$(3-b)^2 – (3-b)b + b^2 = 27$

نقوم بتوسيع وتبسيط المعادلة:
$9 – 6b + b^2 – 3b + b^2 + b^2 = 27$

$3b^2 – 9b – 18 = 0$

نقوم بحل المعادلة الرباعية باستخدام الصيغة التالية:
$b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a=3$، $b=-9$، و $c=-18$، ونجد أن القيم الممكنة لـ $b$ هي $b=3$ أو $b=-2$.

الآن نستخدم قيمة $b$ لحساب القيمة المقابلة لـ $a$:
إذا كان $b=3$، فإن $a=0$، وإذا كان $b=-2$، فإن $a=5$.

لذلك، لدينا حلين للمعادلة، وهما:
$a=0، b=3$
$a=5، b=-2$

السؤال الأصلي يطلب حاصل ضرب $ab$، لذلك نقوم بحساب القيمة لكلا الحالتين:
$ab_1 = 0 \times 3 = 0$
$ab_2 = 5 \times (-2) = -10$

إذا كان لدينا نظام معادلات:
$\begin{cases} a+b = 3 \\ a^3+b^3 = 81 \end{cases}$

فإن الحلول لهذا النظام هي:
$(a=0، b=3) \quad \text{أو} \quad (a=5، b=-2)$

وبالتالي، قيمة $ab$ تكون:
$ab_1 = 0$
$ab_2 = -10$

إنهاءً لحل المسألة، وبناءً على القيم المحسوبة، يكون حاصل ضرب $ab$ هو إما 0 أو -10 وفقًا للحالة المختارة.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم القوانين الأساسية للجبر والحساب. سنبدأ بتفاصيل الحل:

المسألة تعطينا نظامين من المعادلات:

$\begin{cases} a+b = 3 \\ a^3+b^3 = 81 \end{cases}$

نستخدم القاعدة الأساسية في تكامل التكعيب: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$

نقوم بتعويض القيم المعطاة في المعادلة الثانية:

$3(a^2 – ab + b^2) = 81$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$a^2 – ab + b^2 = 27$

الآن لدينا نظامين من المعادلات:

$\begin{cases} a+b = 3 \\ a^2 – ab + b^2 = 27 \end{cases}$

نستخدم القاعدة الأساسية في حساب الجذر التربيعي للمعادلة الثانية:

$a^2 – ab + b^2 = (a – b)^2$

نعوض قيمة $a+b$ في المعادلة الثانية:

$(a – b)^2 = 27$

نحسب قيم $a-b$ باستخدام الجذر التربيعي:

$a – b = \pm \sqrt{27}$

$a – b = \pm 3\sqrt{3}$

الآن نستخدم المعادلة الأولى لحساب قيم $a$ و $b$:

$a + b = 3$

$a = 3 – b$

نعوض قيم $a – b$ في المعادلة:

$3 – b – b = \pm 3\sqrt{3}$

$3 – 2b = \pm 3\sqrt{3}$

$-2b = \pm 3\sqrt{3} – 3$

$b = \frac{3 – \pm 3\sqrt{3}}{2}$

الآن لدينا قيمتين ممكنتين لـ $b$:

$b_1 = \frac{3 – 3\sqrt{3}}{2}$

$b_2 = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$

نستخدم قيم $b_1$ و $b_2$ لحساب قيم متقابلة لـ $a$:

$a_1 = 3 – b_1$

$a_2 = 3 – b_2$

بالتالي، لدينا حلين ممكنين للنظام:

$(a_1, b_1)$

$(a_2, b_2)$

نستخدم هذه القيم في حساب $ab$ في كل حالة:

$ab_1 = a_1 \times b_1$

$ab_2 = a_2 \times b_2$

وبهذا نحصل على القيم النهائية لـ $ab$.