حل مسألة رياضية: أقصى قيمة لمجموع x وy (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيم x وy تحقق المعادلتين التاليتين: $x^2 + y^2 = 90$ و $xy = 27$، فما هو أكبر قيمة ممكنة لجمع x وy؟

لنحل هذه المسألة، نبدأ بتعبير x وy من المعادلة الثانية $xy = 27$. إذاً، يمكننا كتابة إحدى القيم بوظيفة من الأخرى. لنفترض أن x ≠ 0، نحصل على $y = \frac{27}{x}$.

الآن، نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة الأولى $x^2 + y^2 = 90$ للحصول على معادلة في x وحده:

$x^2 + \left(\frac{27}{x}\right)^2 = 90$

بعد ضرب كل جزء في المعادلة في $x^2$، نحصل على:

$x^4 – 90x^2 + 729 = 0$

هذه المعادلة هي معادلة رباعية في x. لحلها، يمكن استخدام الطريقة التالية: إذا كانت $ax^4 + bx^2 + c = 0$، فنستبدل $x^2$ بـ t للحصول على معادلة من الدرجة الثانية. في هذه الحالة، يمكننا استخدام t بدلاً من $x^2$، لذلك تكون المعادلة كالتالي:

$t^2 – 90t + 729 = 0$

نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية ($ax^2 + bx + c = 0$):

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في حالتنا، $a = 1$، $b = -90$، و $c = 729$، لذا:

$t = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 – 4(1)(729)}}{2(1)}$

حساب القيمة تعطينا:

$t = \frac{90 \pm \sqrt{8100 – 2916}}{2}$

$t = \frac{90 \pm \sqrt{5184}}{2}$

$t = \frac{90 \pm 72}{2}$

هنا لدينا اثنتين من القيم لـ t:

1. $t_1 = \frac{90 + 72}{2} = 81$
2. $t_2 = \frac{90 – 72}{2} = 9$

الآن، نستعيد قيم $x^2$ باستبدال t بـ $x^2$ في كل حالة:

1. $x^2 = 81$
2. $x^2 = 9$

لنستخرج قيم $x$ بأخذ الجذر التربيعي:

1. $x_1 = 9$
2. $x_2 = -9$ (تم تجاهلها لأننا افترضنا أن $x ≠ 0$)

الآن، نستخدم القيم الجديدة لـ $x$ لحساب قيم $y$ باستخدام $y = \frac{27}{x}$:

1. لـ $x_1 = 9$، $y_1 = \frac{27}{9} = 3$
2. لـ $x_2 = -9$، $y_2$ (تم تجاهلها لنفس السبب)

إذاً، الأزواج الممكنة لـ (x، y) هي (9، 3) و (-9، -3). الجمع المطلوب هو:

$9 + 3 = 12$

لذا، أكبر قيمة ممكنة لمجموع x وy هي 12.

لحل هذه المسألة، بدأنا باستخدام معادلة الدائرة $x^2 + y^2 = 90$ ومعادلة الإنتاج $xy = 27$. الهدف هو العثور على قيم لـ $x$ و $y$ تحقق كلتا المعادلتين وتحسن الجمع $x + y$. لقد استخدمنا مجموعة من الخطوات لتحقيق ذلك.

1. تعويض $y$ في المعادلة الأولى:
   ابتدأنا بتعويض قيمة $y$ في المعادلة الأولى $x^2 + y^2 = 90$ للحصول على معادلة في $x$ وحده. قمنا بذلك باستبدال $y$ بالتعبير $\frac{27}{x}$، وحصلنا على المعادلة:
   $x^2 + \left(\frac{27}{x}\right)^2 = 90$

2. تحويل المعادلة إلى معادلة رباعية:
   بمجرد التعويض، قمنا بضرب كل جزء في المعادلة في $x^2$ للتحول إلى معادلة رباعية في $x$:
   $x^4 – 90x^2 + 729 = 0$

3. تحويل المعادلة الرباعية إلى معادلة من الدرجة الثانية:
   قمنا بتحويل المعادلة الرباعية إلى معادلة من الدرجة الثانية باستخدام استبدال $t = x^2$. حصلنا على المعادلة:
   $t^2 – 90t + 729 = 0$

4. حل المعادلة من الدرجة الثانية:
   قمنا بحل المعادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة العامة للحلول، وحصلنا على قيمتين لـ $t$: $t_1 = 81$ و $t_2 = 9$.

5. استرجاع قيم $x^2$:
   استخدمنا القيم المحسوبة لـ $t$ لاسترجاع قيم $x^2$: $x^2 = 81$ و $x^2 = 9$.

6. استرجاع قيم $x$ و $y$:
   استخدمنا الجذر التربيعي للحصول على قيم $x$ الفردية: $x_1 = 9$ و $x_2 = -9$، واستخدمنا هذه القيم لحساب قيم $y$ المقابلة: $y_1 = 3$ و $y_2$ (تم تجاهلها لأننا افترضنا أن $x ≠ 0$).

7. حساب الجمع $x + y$:
   أخيرًا، قمنا بحساب جمع $x + y$ لكل زوج من القيم: $x_1 + y_1 = 12$ وتم تجاهل القيمة الثانية لأننا قد افترضنا $x ≠ 0$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل قوانين الجبر والحساب، بما في ذلك استخدام معادلات الدائرة والإنتاج، وتحويل المعادلات للعثور على الحلول. كما استخدمنا الصيغ العامة لحل معادلات من الدرجة الثانية واستخدام الجذور التربيعية.