حل مسألة رياضية: أقصى قيمة لـ y (مسألة رياضيات)

إذا كانت $x$ و $y$ عددين صحيحين بحيث $xy+5x+4y=-5$، فما هو أكبر قيمة ممكنة للعدد $y$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا محاولة ترتيب المعادلة للعثور على حلاً. نقوم بتجميع مصطلحي $xy$ و $4y$ معًا، ومصطلحي $5x$ معًا:

$xy + 5x + 4y = -5$

$xy + 4y + 5x = -5$

الآن، نحاول تحويل هذه المعادلة لصيغة يسهل حساب القيمة المطلوبة من خلالها. لذلك، نقوم بعملية تكميل المربع:

$xy + 4y + 5x + 20 = 15$

$xy + 4y + 5x + 20 + 1 = 16$

$(x + 4)(y + 5) = 16$

الآن لدينا المعادلة بصيغة مناسبة. نحاول إيجاد جميع الأزواج الممكنة للعوامل $(x + 4)$ و $(y + 5)$ التي تساوي $16$. الأعداد الممكنة لـ $(x + 4)$ و $(y + 5)$ هي:

$1 \times 16$

$2 \times 8$

$4 \times 4$

$8 \times 2$

$16 \times 1$

الآن، نحاول استنتاج قيم ممكنة لـ $x$ و $y$. للفحص، نعين $x + 4$ يساوي $1$:

$x + 4 = 1 \implies x = -3$

ونعين $x + 4$ يساوي $2$:

$x + 4 = 2 \implies x = -2$

وهكذا نستمر في تجربة القيم حتى نجد جميع الأزواج الممكنة. الآن، نحدد قيمة $y$ بتوجيه النظر إلى المعادلة الأصلية:

$x(-3)y + 5(-3) + 4y = -5 \implies -3y – 15 + 4y = -5 \implies y = 10$

$x(-2)y + 5(-2) + 4y = -5 \implies -2y – 10 + 4y = -5 \implies y = 5$

بهذا نكون قد وجدنا جميع الأزواج الممكنة والقيم المقابلة لـ $y$ هي $10$ و $5$. ومن بين هاتين القيمتين، نلاحظ أن القيمة الأكبر هي $y = 10$. إذاً، القيمة الأكبر لـ $y$ في هذه المسألة هي $10$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة. المعادلة المعطاة هي:

$xy + 5x + 4y = -5$

لنقم بتحويل المعادلة لصيغة قابلة للتحليل بشكل أفضل. نقوم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على متغير $x$ والتي تحتوي على متغير $y$ معًا:

$xy + 5x + 4y = -5$

$xy + 5x + 4y + 20 = 15$

نقوم بإضافة $20$ إلى الطرفين لتوفير توازن في المعادلة، وبالتالي نحصل على:

$xy + 4y + 5x + 20 = 15$

نقوم الآن بتجميع المصطلحات التي تحتوي على $y$ معًا:

$(xy + 4y) + 5x + 20 = 15$

نستخدم تقنية تكميل المربع لإيجاد صيغة مناسبة:

$(x + 4)y + 5x + 20 = 15$

نضيف $1$ إلى الطرفين لتوفير توازن في المعادلة:

$(x + 4)y + 5x + 20 + 1 = 16$

الآن، نكتب المعادلة بصيغة جديدة:

$(x + 4)(y + 5) = 16$

الآن، نقوم بفحص جميع الأزواج الممكنة من عوامل العبارة اليمنى $16$. الأزواج هي:

$1 \times 16, 2 \times 8, 4 \times 4, 8 \times 2, 16 \times 1$

نقوم بفحص قيم $x$ و $y$ الممكنة لكل زوج:

1. عندما $(x + 4) = 1$ و $(y + 5) = 16)$، نجد $x = -3$ و $y = 11$.
2. عندما $(x + 4) = 2$ و $(y + 5) = 8)$، نجد $x = -2$ و $y = 3$.
3. عندما $(x + 4) = 4$ و $(y + 5) = 4)$، نجد $x = 0$ و $y = -1$.
4. عندما $(x + 4) = 8$ و $(y + 5) = 2)$، نجد $x = 4$ و $y = -3$.
5. عندما $(x + 4) = 16$ و $(y + 5) = 1)$، نجد $x = 12$ و $y = -4$.

القيمة الوحيدة لـ $y$ التي تكون إيجابية في هذه الأزواج هي $y = 3$. لكن نرى أن القيمة الأكبر هي $y = 11$ عندما تكون $(x + 4) = 1$ و $(y + 5) = 16)$.

إذاً، القيمة الأكبر لـ $y$ في هذه المسألة هي $11$. القوانين المستخدمة هي قوانين جمع المصطلحات وتكميل المربع.