حل مسألة: دوال ودوال عكسية (مسألة رياضيات)

لنقم أولاً بتحديد دالة العكس $f^{-1}(y)$ للدالة $f(x)$ المعطاة.

للقيم $y \leq 1$، نقوم بحل المعادلة $y = 2 – x$ للحصول على القيمة المقابلة لهذا النطاق. نقوم بتبديل $y$ و $x$ للعثور على الدالة العكسية لهذا النطاق. نقوم بذلك بإضافة $x$ إلى الجانبين من المعادلة:

$x = 2 – y$

للقيم $y > 1$، نقوم بحل المعادلة $y = 2x – x^2$ للحصول على القيمة المقابلة لهذا النطاق. هنا نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية:

$x^2 – 2x + y = 0$

نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

بالتطبيق هنا، $a = 1$، $b = -2$، و $c = y$. بعد حساب القيم، نحصل على قيمتين ممكنتين لـ $x$.

الآن، نحسب الدالة العكسية $f^{-1}(y)$ كمجموع للقيم المحسوبة في النطاقين المختلفين. للأمانة، سنستخدم القيم الأصغر في حال وجود قيم متعددة لـ $x$ في النطاق الثاني.

الآن، لنحسب $f^{-1}(-3)$، $f^{-1}(0)$، و $f^{-1}(3)$ ثم نجمعها معًا.

1. لـ $f^{-1}(-3)$:
   $x = 2 – (-3) = 5$
   لا يوجد قيمة عكسية لـ $-3$.

2. لـ $f^{-1}(0)$:
   $x = 2 – 0 = 2$
   لا يوجد قيمة عكسية لـ $0$.

3. لـ $f^{-1}(3)$:
   $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$
   $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 12}}{2}$
   $x = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}$
   المعادلة ليس لها حل في الأعداد الحقيقية، لذلك لا توجد قيمة عكسية لـ $3$.

بالتالي، قيمة التعبير $f^{-1}(-3) + f^{-1}(0) + f^{-1}(3)$ هي $0$، لأن لا توجد قيم عكسية للأعداد $-3$ و $0$ و $3$.

لحل المسألة المطروحة، نحتاج إلى القوانين والمفاهيم الرياضية التالية:

1. دالة العكس:
   عندما نبحث عن قيمة دالة عكسية، نقوم بتبديل المتغيرات في الدالة. لذا، إذا كانت $f(x) = y$، فإن $f^{-1}(y) = x$.

2. حل المعادلة التربيعية:
   لحل المعادلات التربيعية من الشكل $ax^2 + bx + c = 0$، نستخدم الصيغة التالية:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

بناءً على القوانين المذكورة، نقوم بحساب قيم الدالة العكسية لكل قيمة مطلوبة، وذلك بتبديل $y$ و $x$ في دالة $f(x)$.

لكن في هذه المسألة، يجب أن نأخذ في الاعتبار أنه قد لا تكون لدى الدالة قيم عكسية في كل الحالات. هذا يحدث عندما لا يكون هناك تطابق بين النطاق والمجال للدالة.

الآن، سنحل المسألة بتطبيق هذه القوانين:

1. للقيم $f^{-1}(-3)$:
   نحسب $f(x) = -3$:
   إذاً، $2 – x = -3$.
   من هذه المعادلة، نجد $x = 5$.
   ومن الواضح أن ليس لدينا قيمة عكسية للعدد $-3$.

2. للقيم $f^{-1}(0)$:
   نحسب $f(x) = 0$:
   إذاً، $2 – x = 0$.
   من هذه المعادلة، نجد $x = 2$.
   وهنا أيضًا لا توجد قيمة عكسية للعدد $0$.

3. للقيم $f^{-1}(3)$:
   نحسب $f(x) = 3$:
   إذاً، $2x – x^2 = 3$.
   هذه معادلة تربيعية، لنحلها باستخدام الصيغة العامة.
   نجد $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 12}}{2}$.
   الجذر تحت الرمز هو سالب، لذا لا يوجد حل حقيقي للمعادلة.
   وبالتالي، لا توجد قيمة عكسية للعدد $3$.

بالنهاية، حسب القوانين الرياضية والتحليل المعمق، نجد أن قيمة التعبير $f^{-1}(-3) + f^{-1}(0) + f^{-1}(3)$ هي $0$، حيث لا توجد قيم عكسية للأعداد $-3$ و $0$ و $3$ في الدالة المعطاة.