حل مسألة: دوال وتبادل القيم (مسألة رياضيات)

لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

لنفترض أنّ $f(x) = 3x^2 – 7$ و $g(f(4)) = X$. تساوي قيمة $g(f(-4))$ 9. ما هي قيمة المتغير الغير معروف X؟

الآن، دعنا نقوم بحل المسألة:

أولاً، نريد حساب قيمة $f(4)$ و $f(-4)$، ثم نستخدم هذه القيم في دالة $g(x)$.

1. لحساب $f(4)$، نقوم بوضع $x=4$ في الدالة $f(x)$:
   $f(4) = 3 \times (4)^2 – 7 = 3 \times 16 – 7 = 48 – 7 = 41$

2. لحساب $f(-4)$، نقوم بوضع $x=-4$ في الدالة $f(x)$:
   $f(-4) = 3 \times (-4)^2 – 7 = 3 \times 16 – 7 = 48 – 7 = 41$

ثانيًا، لحساب قيمة $g(f(4)) = X$، نقوم بتعويض قيمة $f(4)$ في دالة $g(x)$، وهي القيمة التي حسبناها سابقًا:
$g(41) = X$

ثالثًا، لدينا أيضًا $g(f(-4)) = 9$، مما يعني:
$g(41) = 9$

لذلك، نعرف أن $X = 9$.

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير الغير معروف هي 9.

لحل المسألة، استخدمنا مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية. هي كالتالي:

1. حساب قيمة الدوال: بدأنا بحساب قيمة الدالة $f(x)$ عند القيمتين $x=4$ و $x=-4$. لفعل ذلك، استخدمنا القاعدة الأساسية لحساب قيمة الدالة، حيث قمنا بتعويض قيم $x$ في تعبير الدالة.

2. تبادل القيم بين الدوال: بعد حساب قيم $f(4)$ و $f(-4)$، استخدمنا هذه القيم في دالة $g(x)$ للحصول على القيمة المطلوبة $X$، والتي كانت في حالتنا $g(f(4))$. هنا نستخدم فكرة تبادل القيم بين الدوال.

3. حل المعادلة: عندما تكون لدينا قيمة معينة لدالة $g(x)$، كما كانت في حالتنا $g(f(4))=X$، يمكننا حل المعادلة المكونة من $g(x)$ والقيمة المعطاة لنا.

4. التعويض والتحقق: بعد حساب $X$، قمنا بالتحقق من صحة الإجابة عن طريق تعويض القيمة المحسوبة في المعادلة $g(f(-4))$ للتأكد مما إذا كانت تساوي القيمة المعطاة (9) أم لا.

بهذه الطرق والقوانين الرياضية، تم حل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ والتأكد من صحة الحل.