حل مسألة: دوال معكوسة وتطبيقاتها (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f^{-1}(g(x)) = x^3 – 1$ ولدينا عكس لدالة $g$، نريد إيجاد $g^{-1}(f(7))$.

لنقم بتحليل المعطيات أولاً، حيث يعبر $f^{-1}(g(x)) = x^3 – 1$ عن العكس التابعي لدالة $f$ مع $g(x)$، والذي يساوي $x^3 – 1$.

نريد الآن حساب $g^{-1}(f(7))$، والذي يعني أننا نريد العثور على القيمة التي تعود عليها $g^{-1}$ عندما يكون المدخل إلى $f$ هو 7.

لحساب $f(7)$، نقوم بتعويض $x=7$ في دالة $f(x)$، حيث $f(x) = f(f^{-1}(g(x)))$:
$f(7) = f(f^{-1}(g(7))) = f(x) = f(7^3 – 1) = f(342).$

الآن، نعلم أن $f(342) = 7$.

إذاً، نريد الآن أن نجد $g^{-1}(7)$.

من المعادلة الأصلية $f^{-1}(g(x)) = x^3 – 1$، نستنتج أن $g(x) = (f^{-1})^{-1}(x^3 – 1)$.

لكن $(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)$، لذا $g(x) = f(x^3 – 1)$.

نحتاج الآن إلى إيجاد $g^{-1}(x)$، مما يعني أننا بحاجة إلى العثور على العكس التابعي لدالة $g$.

لحساب $g^{-1}(x)$، نقوم بحل المعادلة $g(g^{-1}(x)) = x$، أي $g(y) = x$، للعثور على $y$.

ومن $g(y) = f(y^3 – 1)$، نجد أن $f(y^3 – 1) = x$.

ونعلم أن $f(342) = 7$، لذا يجب أن يكون $y^3 – 1 = 342$.

بالتالي، $y^3 = 343$، ومن ثم $y = 7$.

لذا، $g^{-1}(x) = 7$.

بالتالي، $g^{-1}(f(7)) = 7$.

لحل المسألة، سنستخدم العديد من الخطوات والقوانين الرياضية المهمة. دعنا نبدأ بتفصيل الحل:

1. تعريف الدوال: تبدأ المسألة بتعريف الدوال $f$ و $g$، حيث يُعطى أن $f^{-1}(g(x)) = x^3 – 1$ وأن $g$ لها عكس.

2. حساب $f(7)$: نحتاج إلى حساب $f(7)$، حيث نعوض $x = 7$ في دالة $f(x)$ باستخدام المعادلة $f(f^{-1}(g(7)))$.

3. البحث عن $g^{-1}(7)$: هذه الخطوة تتطلب البحث عن القيمة التي يرجع عليها $g^{-1}$ عندما يكون المدخل إلى $f$ هو 7.

4. حساب العكس التابعي لدالة $g$: نستخدم المعادلة $g(g^{-1}(x)) = x$ للعثور على العكس التابعي لدالة $g$، حيث $g(y) = x$.

5. استخدام القوانين الجبرية: نستخدم القوانين الجبرية لحل المعادلات، مثل حل معادلات التكعيب وتطبيق خواص الدوال العكسية.

باختصار، تمثل القوانين المستخدمة في الحل الجبرية والعكسية للدوال وحساب القيم باستخدام تعريف الدوال. يجمع الحل بين استخدام هذه القوانين بشكل منطقي ومتسلسل للوصول إلى الإجابة النهائية.