حل مسألة: دوال خطية ومتباينة (مسألة رياضيات)

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

“إيجاد عدد الدوال $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ التي تراضي المعادلة التالية لكل الأعداد الحقيقية $x$ و $y$:
$f(x + f(y)) = x + y$“

الآن، دعونا نقوم بحل المسألة:

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق أسلوب التحليل والاستنتاج. لنبدأ بتحليل المعادلة الأساسية:
$f(x + f(y)) = x + y$

قد نستنتج العديد من الملاحظات المفيدة من هذه المعادلة:

1. التعامل مع الدالة الداخلية:
   عندما نضع $x = 0$ في المعادلة، نحصل على:
   $f(f(y)) = y$
   هذا يعني أن $f$ هي دالة متباينة.

2. تبديل الأرقام:
   من المعادلة الأصلية، نستنتج أيضًا:
   $f(x + f(y)) = f(y + f(x))$
   ومن هذا، يمكننا أن نستنتج:
   $x + y = y + x$
   مما يعني أن الدالة متباينة.

3. استبدال القيم:
   نعلم أنه يمكن استبدال $y$ بـ $f(y)$ في المعادلة الأصلية. لذا، يمكننا كتابة:
   $f(x + y) = f(x) + f(y)$
   لكل $x, y \in \mathbb{R}$.

4. تحديد قيمة $f(0)$:
   عندما نضع $x = 0$ في العلاقة السابقة، نحصل على:
   $f(y) = f(0) + f(y)$
   ومن هذا نستنتج $f(0) = 0$.

الآن، يمكننا تطبيق مبدأ كاوشي-شوارتز لحل المسألة. لنقم بتعيين قيمة $f(x)$ و $f(y)$ في المعادلة:
$f(x + y) = f(x) + f(y)$
سنجد أن الحل الوحيد هو $f(x) = cx$، حيث $c$ ثابت حقيقي.

للتحقق من صحة الحل، دعونا نقوم بتطبيقه في المعادلة الأصلية:
$f(x + f(y)) = x + y$
$f(x + cy) = x + y$
$cx + cy = x + y$
$cx = x$

من هنا، يتبين لنا أن $c = 1$ أو $f(x) = x$ هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرط المعطى.

لذا، هناك دالة واحدة فقط تحقق المعادلة المعطاة، وهي $f(x) = x$.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية الأساسية. سنبدأ بتحليل المعادلة الأساسية ثم نستخدم القوانين المناسبة للوصول إلى الحل النهائي.

المعادلة الأساسية هي:
$f(x + f(y)) = x + y$

الآن سنبدأ باستخدام القوانين المناسبة:

1. تعيين القيم:
   نبدأ بتعيين بعض القيم في المعادلة للوصول إلى نتائج مفيدة. مثلاً، عندما نضع $x = 0$، نحصل على:
   $f(f(y)) = y$
   هذا يدل على أن $f$ هي دالة متباينة.

2. استبدال القيم:
   يمكننا استبدال $y$ بـ $f(y)$ في المعادلة الأساسية، لذا:
   $f(x + f(f(y))) = x + f(y)$
   من المعادلة $f(f(y)) = y$ التي حصلنا عليها في الخطوة السابقة، نستنتج أن:
   $f(x + y) = x + f(y)$

3. حساب $f(0)$:
   عندما نضع $x = 0$ في المعادلة $f(x + y) = x + f(y)$، نحصل على:
   $f(y) = f(0) + y$
   من هذا، نستنتج أن $f(0) = 0$.

4. تحليل دالة $f$:
   من المعادلة $f(x + y) = x + f(y)$، نستنتج أن $f$ هي دالة خطية. لذا، يمكننا كتابتها بصورة $f(x) = cx$، حيث $c$ ثابت حقيقي.

5. التحقق من الحل:
   بعد تحديد $f(x) = cx$، نستخدمه في المعادلة الأصلية ونتحقق من صحة الحل:
   $f(x + f(y)) = x + y$
   $f(x + cy) = x + y$
   $cx + cy = x + y$
   من هذا، نجد أن $c = 1$ هو الحل الوحيد.

بالتالي، الدالة الوحيدة التي تحقق المعادلة المعطاة هي $f(x) = x$.

باختصار، في هذا الحل، استخدمنا القوانين الرياضية الأساسية مثل استبدال القيم، تحليل الدوال، وتعيين القيم، والتحقق من الحل للوصول إلى الإجابة النهائية.