حل مسألة: دالة مستمرة والقيم الممكنة (مسألة رياضيات)

لنقوم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

لنفرض أن $f(x) = \begin{cases} x^2+2 &\text{إذا كان } x$إذا كانت منحنى الدالة $y=f(x)$ متصلًا، فما مجموع جميع القيم الممكنة لـ $n$؟

الآن، لحل المسألة، يجب أن نضمن استمرارية الدالة $f(x)$ عند $x=n$. يجب أن تكون قيمة $f(n)$ متساوية عند حدود التعريفين للدالة عند $x=n$، وهذا يعني أن:

$n^2 + 2 = 2n + 5$

نقوم بحل المعادلة أعلاه للعثور على القيم الممكنة لـ $n$. لحل المعادلة، نقوم بتجميع كل المصطلحات في جانب واحد من المعادلة:

$n^2 – 2n + 3 = 0$

الآن، لاستخدام النظرية الكونية، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول أن مجموع الجذور يساوي السالب من معامل $x$ في المعادلة الثانية. لذا:

$n_1 + n_2 = 2$

حيث $n_1$ و $n_2$ هما الجذور الممكنة للمعادلة التربيعية. بما أن الدالة متصلة، فإن هذا يعني أن الجذرين يجب أن يكونا حقيقيين. بالتالي، المعادلة الثانية لها جذور حقيقية إذا كانت القيمة تحت الجذر الموجبة:

$4 – 4 \times 1 \times 3 > 0$

$4 – 12 > 0$

$-8 > 0$

هذه الحالة غير ممكنة، لأنها تعطي قيمة سالبة، وبالتالي لا يمكن أن تكون جذور حقيقية. بالتالي، لا يمكن أن تكون الدالة مستمرة في أي قيمة ممكنة لـ $n$.

بما أن ليس لدينا أي قيم صحيحة لـ $n$، فلا يوجد جواب محدد لمجموع القيم الممكنة لـ $n$.

يرجى ملاحظة أنه يمكن أن يكون هناك سوء في صياغة المسألة أو إحتمال أن يكون هناك خطأ في التفسير.

لنحاول حل المسألة بمزيد من التفصيل واستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

المسألة تتطلب منا العثور على قيمة $n$ التي تجعل الدالة $f(x)$ مستمرة. لكي تكون الدالة مستمرة عند $x = n$ ، يجب أن تكون القيمتان $f(n-)$ و $f(n+)$ متساويتان.

بمعنى آخر، يجب أن يكون لدينا:
$n^2 + 2 = 2n + 5$

لحل هذه المعادلة، نضع كل المصطلحات على جانب واحد من المعادلة:
$n^2 – 2n + 3 = 0$

هذه المعادلة هي معادلة تربيعية، ويمكن حلها باستخدام القاعدة العامة لحساب الجذر التربيعي:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -2$، و $c = 3$. نستخدم هذه القيم في المعادلة للحصول على الجذور.

$n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}$
$n = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 12}}{2}$
$n = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}$

هنا نواجه مشكلة. القيمة تحت الجذر هي سالبة ($-8$). هذا يعني أن ليس لدينا جذور حقيقية للمعادلة، وبالتالي لا يمكن أن تكون الدالة مستمرة في أي قيمة ممكنة لـ $n$.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قانون استمرارية الدوال: يتطلب أن تكون قيمة الدالة متساوية على حدود التعريف لتكون الدالة مستمرة.

2. قاعدة الجذور للمعادلة التربيعية: يتم استخدامها لحل المعادلات التربيعية.

3. قاعدة الجذور الحقيقية: تقول إن المعادلة التربيعية ليست لها جذور حقيقية إذا كانت القيمة تحت الجذر سالبة.

باختصار، لم نتمكن من العثور على قيمة ممكنة لـ $n$ تجعل الدالة مستمرة.