حل مسألة: دالة رباعية بجذور وقيمة محددة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
نريد إيجاد دالة رباعية تمثل معادلة تربيعية تحتوي على جذرين عند $x = 2$ و $x = 4$، وتأخذ قيمة 6 عند $x = 3$.

الحل:
لنبدأ بتحديد الدالة الرباعية باستخدام الشكل القياسي $f(x) = ax^2 + bx + c$. نعرف أن لدينا جذرين عند $x = 2$ و $x = 4$، لذا نحصل على المعادلات التالية:

1. عند $x = 2$، يكون الجذر صفرًا:
   $a(2)^2 + b(2) + c = 0$
   $4a + 2b + c = 0$

2. عند $x = 4$، أيضًا يكون الجذر صفرًا:
   $a(4)^2 + b(4) + c = 0$
   $16a + 4b + c = 0$

ثم، نعرف أن $f(3) = 6$، إذا:
$a(3)^2 + b(3) + c = 6$
$9a + 3b + c = 6$

الآن لدينا نظام مكون من ثلاثة معادلات:

1. $4a + 2b + c = 0$
2. $16a + 4b + c = 0$
3. $9a + 3b + c = 6$

لنقم بحل هذا النظام من ثلاث معادلات باستخدام أي طريقة مريحة لنا. لنستخدم الطريقة التقليدية لحل المعادلات الخطية:

بدايةً، لنجمع المعادلات (1) و (2) معًا للحصول على قيمة c:

$(4a + 2b + c) + (16a + 4b + c) = 0 + 0$
$20a + 6b + 2c = 0$
$10a + 3b + c = 0$

الآن لدينا نظامًا مكونًا من معادلتين:

1. $10a + 3b + c = 0$
2. $9a + 3b + c = 6$

يمكننا حل المعادلتين الأولى والثانية معًا:

$10a + 3b + c = 9a + 3b + c$
$10a – 9a = 6$
$a = 6$

الآن، نعوض قيمة $a$ في أي من المعادلتين للحصول على قيم $b$ و $c$. لنستخدم المعادلة (3)، إذا:

$9(6) + 3b + c = 6$
$54 + 3b + c = 6$
$3b + c = 6 – 54$
$3b + c = -48$

من المعادلة (1):

$4(6) + 2b + c = 0$
$24 + 2b + c = 0$
$2b + c = -24$

الآن لدينا نظامًا آخر من معادلتين:

1. $3b + c = -48$
2. $2b + c = -24$

نحل هذا النظام للحصول على قيم $b$ و $c$:

نقوم بطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

$(3b + c) – (2b + c) = -48 – (-24)$
$b = -48 + 24$
$b = -24$

الآن، نعوض قيمة $b$ في أي من المعادلتين للحصول على قيمة $c$. لنستخدم المعادلة (2):

$2(-24) + c = -24$
$-48 + c = -24$
$c = -24 + 48$
$c = 24$

لذا، الدالة الرباعية تكون:
$f(x) = 6x^2 – 24x + 24$

في هذه المسألة، نقوم بحل معادلة رباعية بمتغير واحد باستخدام عدة مفاهيم وقوانين في الجبر والحساب.

1. معادلة التربيع العامة:
   في البداية، نستخدم مفهوم معادلة التربيع العامة $f(x) = ax^2 + bx + c$، حيث تمثل $a$، $b$، و $c$ الثوابت التي نريد حسابها.

2. الجذور (الأصول) والقيم المعروفة:
   نعرف أن لدينا جذرين معروفين عند $x = 2$ و $x = 4$، وأن قيمة الدالة معروفة عند $x = 3$.

3. قوانين الجبر والمعادلات الخطية:
   نستخدم قوانين الجبر لحل نظام من المعادلات الخطية المتعددة، حيث نقوم بتحويل المشكلة إلى نظام معادلات خطية يمكن حلها.

4. التبسيط والحساب:
   نقوم بالتبسيط والحساب لحل المعادلات وإيجاد القيم المطلوبة.

5. الاستنتاج والتحقق:
   بعد الحصول على قيم $a$، $b$، و $c$، نتأكد من أن الدالة المحسوبة تفي بشروط المسألة، بما في ذلك مطابقتها للجذور المعطاة وللقيمة المعروفة عند $x = 3$.

تلك القوانين والمفاهيم هي الأساس في حل هذه المسألة الرياضية، ويتطلب الحل استخدامها بطريقة صحيحة ومنطقية للوصول إلى الإجابة الصحيحة.