حل مسألة: دائرة بمركز على المحور x (مسألة رياضيات)

النقاط $(0,4)$ و$(1,3)$ تقعان على دائرة مركزها على محور $x$. ما هو شعاع الدائرة؟

لنحل هذه المسألة، نحتاج إلى معرفة موقع مركز الدائرة. نظرًا لأن الدائرة مركزها على محور $x$، فإن مركز الدائرة يكون على النقطة $(a, 0)$.

إذاً، لتحديد المركز، يجب أن نجد نقطة وسط القطعة المستقيمة التي تمر بين $(0,4)$ و$(1,3)$ والمركز $(a,0)$.

نجد المعادلة الخطية للمستقيم الذي يمر بين هاتين النقطتين أولاً. استخدم الصيغة التالية:

$y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)$

مع $(x_1, y_1) = (0,4)$ و$(x_2, y_2) = (1,3)$، نقوم بالحسابات:

$y – 4 = \frac{3 – 4}{1 – 0}(x – 0)$
$y – 4 = -1x + 4$
$y = -x + 8$

الآن، نريد النقطة الوسطى للقطعة المستقيمة، وهو مركز الدائرة. يتم ذلك بمجرد أخذ المتوسط بين القيم $x$ من كلا النقطتين. لذا:

$a = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$

إذاً، المركز هو $(\frac{1}{2}, 0)$.

الآن، نستخدم مركز الدائرة وأحد النقاط على الدائرة لحساب الشعاع. سنستخدم $(0,4)$:

المسافة بين نقطتين في المستوى هي:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

لذا، الشعاع يكون:

$r = \sqrt{(\frac{1}{2} – 0)^2 + (0 – 4)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 16} = \sqrt{\frac{65}{4}}$

إذاً، شعاع الدائرة هو $\sqrt{\frac{65}{4}}$.

لحل المسألة، نستخدم المعرفة المتعلقة بمعادلة دائرة وقوانين الهندسة الأساسية.

1. معادلة دائرة:
   معادلة دائرة في الإحداثيات الكارتيزية بمركز $(a, b)$ ونصف قطر $r$ هي:
   $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

2. المسافة بين نقطتين:
   المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ في المستوى تُحسب بالصيغة:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

3. المعادلة الخطية:
   معادلة خطية بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ هي:
   $y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)$

الآن، نقوم بتطبيق هذه القوانين في حل المسألة:

أولاً، نجد معادلة الخط الذي يمر بين النقطتين $(0,4)$ و$(1,3)$. بعد ذلك، نجد منتصف هذا الخط الذي يُمثل موقع مركز الدائرة.

ثانياً، نستخدم موقع المركز وأحد النقاط على الدائرة لحساب شعاع الدائرة باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين.

باستخدام هذه الخطوات، نتمكن من تحديد مركز الدائرة وشعاعها بالترتيب، وهي العناصر الأساسية لتحديد دائرة في الإحداثيات الكارتيزية.