حل مسألة دائرة باستخدام معادلات الدرجة الثانية (مسألة رياضيات)

الدائرة $B$ لها مركز في النقطة $(-6، 2)$ ونصف قطر يبلغ $10$ وحدة. ما هو مجموع الإحداثيات $y$ لنقطتين على دائرة $B$ والتي تقعان أيضًا على محور $y$؟

المسألة:
دائرة $B$ لها مركز في النقطة $(-6، 2)$ ونصف قطر يبلغ $10$ وحدة. ما هو مجموع الإحداثيات $y$ لنقطتين على دائرة $B$ والتي تقعان أيضًا على محور $y$؟

الحل:
لحساب إحداثيات $y$ للنقطتين على محور $y$، يجب أولاً أن نتحقق من النقاط التي تقع على محور $y$ وعلى دائرة $B$.

المركز للدائرة هو $(-6، 2)$، لذا يمكننا أن نفترض أن النقطتين على محور $y$ هما $(a، 0)$ و $(b، 0)$، حيث $a$ و $b$ هما الإحداثيات $x$ للنقطتين.

نستخدم معادلة دائرة لحساب النقاط على الدائرة، حيث أن معادلة الدائرة هي:

$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

حيث $h$ و $k$ هما إحداثيات المركز، و $r$ هو نصف القطر.

في حالتنا:

$(a + 6)^2 + (0 – 2)^2 = 10^2$

و

$(b + 6)^2 + (0 – 2)^2 = 10^2$

نقوم بحساب القيم:

$a^2 + 12a + 36 + 4 = 100$

$b^2 + 12b + 36 + 4 = 100$

نقوم بترتيب المعادلات:

$a^2 + 12a + 40 = 0$

$b^2 + 12b + 40 = 0$

نستخدم الآن القاعدة العامة لحساب الجذور:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في حالتنا $a = 1$، $b = 12$، و $c = 40$.

$a = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 – 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 – 160}}{2}$

$a = \frac{-12 \pm \sqrt{-16}}{2}$

هنا نلاحظ أن لدينا جذر سالب، وهذا يعني أنه لا يوجد حلاً حقيقيًا للمعادلة. إذاً، لا يوجد نقطتين على محور $y$ يمكن أن تكونان على دائرة $B$.

بالتالي، مجموع الإحداثيات $y$ للنقطتين المطلوبة هو $0$.

بالطبع، دعونا نستعرض التفاصيل الأكثر تفصيلاً في حل هذه المسألة.

المسألة:
دائرة $B$ لها مركز في النقطة $(-6، 2)$ ونصف قطر يبلغ $10$ وحدة. ما هو مجموع الإحداثيات $y$ لنقطتين على دائرة $B$ والتي تقعان أيضًا على محور $y$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نبدأ بتحديد المعادلة الرياضية لدائرة $B$. تأخذ معادلة دائرة الشكل العام التالي:

$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

حيث $h$ و $k$ هما إحداثيات مركز الدائرة، و $r$ هو نصف قطر الدائرة. في هذه الحالة، نعلم أن $h = -6$، $k = 2$، و $r = 10$، لذا معادلة دائرة $B$ تكون:

$(x + 6)^2 + (y – 2)^2 = 100$

نريد الآن حساب النقاط التي تقع على محور $y$، لذلك نفترض أن $x = a$ و $x = b$ هما الإحداثيات على محور $x$ للنقطتين المطلوبتين. بما أن هاتين النقطتين أيضًا على محور $y$، فإن الإحداثيات الكاملة للنقطتين هي $(a، 0)$ و $(b، 0)$.

نستخدم الآن معادلة الدائرة لحساب النقاط على الدائرة:

$(a + 6)^2 + (0 – 2)^2 = 100$

$(b + 6)^2 + (0 – 2)^2 = 100$

نقوم بتوسيع المعادلات:

$a^2 + 12a + 40 = 0$

$b^2 + 12b + 40 = 0$

وهذه هي معادلات من الدرجة الثانية. يمكن حلها باستخدام القاعدة العامة لحساب الجذور:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 12$، و $c = 40$. نستخدم هذه القيم لحساب $a$ و $b$.

الآن، إذا كانت القيمة تحت الجذر في المعادلة تكون سالبة، فإن ذلك يعني أنه لا توجد حلول حقيقية. في هذه الحالة، الجذر يكون خياليًا، وبالتالي لا توجد نقطتان على محور $y$ يمكن أن تكونان على دائرة $B$.

أخيرًا، نستنتج أن مجموع الإحداثيات $y$ للنقطتين المطلوبتين هو $0$.

القوانين المستخدمة:

1. معادلة دائرة: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
2. معادلة الحل العامة للدرجة الثانية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$