حل مسألة خطية بثلاث متغيرات (مسألة رياضيات)

نريد حل معادلة خطية تحتوي على ثلاث متغيرات، $x$ و$y$ و$z$. لدينا النظام الآتي:

نريد أولاً أن نحدد قيمة $k$ التي تجعل النظام له حل واحد على الأقل حيث $x$ و $y$ و $z$ جميعها غير صفر.

للعثور على القيم الممكنة لـ $k$، نستخدم طريقة حل النظام. يمكننا حل النظام باستخدام أساليب مثل الاستبدال أو الإحلال.

لحل هذا النظام، يمكننا استخدام أسلوب الإحلال. نبدأ بحل المعادلات:

من المعادلة الثانية، نقوم بحل $x$ بالنسبة إلى $y$ و $z$:

$x = \frac{2z – ky}{3}$

ومن المعادلة الثالثة، نقوم بحل $x$ بالنسبة إلى $y$ و $z$:

$x = \frac{3z – 4y}{2}$

الآن، نضع القيم المعادلات السابقة في المعادلة الأولى:

$\frac{2z – ky}{3} + ky + 3z = X$

$\frac{3z – 4y}{2} + ky – 2z = 0$

لحل المعادلة الأولى بالنسبة لـ $X$، نحتاج إلى قيمة $X$ التي تجعل النظام له حلًا. لحسن الحظ، لدينا المعلومة أن $\frac{xz}{y^2} = 10$.

لذا، يمكننا استخدام هذه المعلومة لتحديد $X$. نستخدم الحل المعطى $\frac{xz}{y^2} = 10$ لنجد $X$.

إذا، نقوم بحساب قيمة $\frac{xz}{y^2}$ من الحلول الممكنة للمعادلات.

نحسب قيمة $\frac{xz}{y^2}$ عن طريق استبدال $x$ من المعادلتين السابقتين:

من المعادلة الأولى:
$x = \frac{2z – ky}{3}$
و
$z = \frac{3X – x – ky}{3}$

نستبدل قيمة $x$ في المعادلة الثانية:
$x = \frac{3z – 4y}{2}$
$x = \frac{3}{2}z – 2y$
$z = \frac{2x + 4y}{3}$

نضع قيمة $z$ في المعادلة السابقة:
$z = \frac{2(\frac{2z – ky}{3}) + 4y}{3}$
$z = \frac{4z – 2ky + 12y}{9}$
$9z = 4z + 12y – 2ky$
$5z = 12y – 2ky$
$z = \frac{12y – 2ky}{5}$

الآن، نحسب قيمة $\frac{xz}{y^2}$:
$\frac{xz}{y^2} = \frac{(\frac{2z – ky}{3})z}{y^2}$
$= \frac{(2z – ky)z}{3y^2}$
$= \frac{2z^2 – kyz}{3y^2}$
$= \frac{2(\frac{12y – 2ky}{5})^2 – ky(\frac{12y – 2ky}{5})}{3y^2}$
$= \frac{2(\frac{144y^2 – 48k^2y^2 – 48k^2y^2 + 8k^3y^2}{25}) – \frac{12ky^2 – 2k^2y^3}{5}}{3y^2}$
$= \frac{\frac{288y^2 – 96k^2y^2 – 96k^2y^2 + 16k^3y^2}{25} – \frac{60ky^2 – 10k^2y^3}{5}}{3y^2}$
$= \frac{\frac{288y^2 – 192k^2y^2 + 16k^3y^2}{25} – \frac{60ky^2 – 10k^2y^3}{5}}{3y^2}$
$= \frac{\frac{288y^2 – 192k^2y^2 + 16k^3y^2 – 300ky^2 + 50k^2y^3}{25}}{3y^2}$
$= \frac{288 – 192k^2 + 16k^3 – 300k + 50k^2}{75}$

وهو معادلة نحتاج إلى حلها لنجد قيمة $X$ المطلوبة. تمامًا كما ذكرت، نعلم أن هذا المقدار يساوي 10. لذا:

$10 = \frac{288 – 192k^2 + 16k^3 – 300k + 50k^2}{75}$

الآن، نقوم بحل المعادلة السابق

لحل المسألة المعطاة، نحن معرضون لنظام من المعادلات الخطية التي تحتوي على ثلاث متغيرات، وهي $x$ و$y$ و$z$. الهدف هو إيجاد قيمة معينة لمتغير $X$، كما هو مطلوب، بالإضافة إلى تحديد القيمة المناسبة للمتغير $k$ التي تسمح بوجود حل للنظام حيث $x$ و$y$ و$z$ جميعها غير صفر.

قوانين الجبر والحساب المستخدمة في الحل تتضمن:

1. قوانين التبديل والإحلال: نستخدم هذه القوانين لتعويض قيم المتغيرات في المعادلات الأخرى للعثور على القيم المجهولة.
2. قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة: نستخدم هذه القوانين الأساسية في الحسابات الجبرية لتبسيط التعبيرات وحساب القيم.

الخطوات الرئيسية لحل المسألة تشمل:

1. استخدام قانون الإحلال لحل المعادلات الثانية والثالثة بالنسبة للمتغير $x$.
2. إيجاد قيمة المتغير $z$ بالنسبة للمتغيرات الأخرى $x$ و $y$.
3. حساب قيمة المتغير $z$ بالنسبة للمتغيرات $y$ و $k$.
4. استخدام الشروط المعطاة في المسألة لوضع معادلة تجمع بين القيم المجهولة.
5. حساب القيم المطلوبة للمتغيرات بناءً على الشروط المعطاة في المسألة.
6. حل المعادلة الناتجة للعثور على قيمة $X$.

تمثل هذه الخطوات مجموعة الإجراءات التي نتبعها لحل المسألة الرياضية المعطاة. ومن خلال تطبيق هذه الخطوات بعناية، يمكننا إيجاد الحل المناسب للمسألة وتحديد القيم المجهولة بنجاح.