حل مسألة: حساب نصف قطر الدائرة بزاوية مركزية 180 درجة

نعتذر عن الترجمة السابقة ونعيد صياغة المسألة وتقديم الحل باللغة العربية:

المسألة:
لدينا قطاع دائرة له محيط يبلغ 144 سم، وزاوية مركزية تبلغ 180 درجة. ما هو طول نصف قطر الدائرة؟

الحل:
لنحسب طول النصف قطر، يمكننا استخدام العلاقة بين طول القوس وزاوية المركز وبين محيط الدائرة. العلاقة هي كالتالي:

$\text{طول القوس} = \left( \frac{\text{زاوية المركز}}{360^\circ} \right) \times \text{محيط الدائرة}$

في هذه الحالة:

$\text{طول القوس} = \left( \frac{180^\circ}{360^\circ} \right) \times 144 \, \text{سم}$

حساب القيمة:

$\text{طول القوس} = 0.5 \times 144 \, \text{سم} = 72 \, \text{سم}$

الآن، نستخدم العلاقة بين طول القوس ونصف قطر الدائرة:

$\text{طول القوس} = \text{نصف قطر الدائرة} \times \text{زاوية مركزية بالراديان}$

ونعلم أن الزاوية مركزية بالراديان تكون نفس زاوية المركز بتقسيمها على $180^\circ/\pi$ (حيث أن $180^\circ$ تعادل $\pi$ راديان). لذا:

$72 = \text{نصف قطر الدائرة} \times \left( \frac{180^\circ}{180^\circ/\pi} \right)$

حساب القيمة:

$\text{نصف قطر الدائرة} = 72 \times \pi$

إذاً، نصف قطر الدائرة يكون:

$\text{نصف قطر الدائرة} = 72\pi \, \text{سم}$

وهذه هي الإجابة.

بالتأكيد، سنقوم بتوسيع التفاصيل في حل المسألة وسنذكر القوانين المستخدمة.

المسألة:
لدينا قطاع دائرة له محيط يبلغ 144 سم، وزاوية مركزية تبلغ 180 درجة. نريد حساب طول نصف قطر الدائرة.

الحل:

1. قانون طول القوس:
   للحساب طول القوس ($s$) في دائرة، نستخدم العلاقة التالية:
   $s = \left( \frac{\text{زاوية المركز}}{360^\circ} \right) \times \text{محيط الدائرة}$

حيث $s$ هو طول القوس، و$\text{زاوية المركز}$ هي الزاوية المركزية المقابلة للقوس، و$\text{محيط الدائرة}$ يُحسب بالعلاقة $2\pi r$ حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. تحويل الزاوية إلى راديان:
   حيث أننا سنقوم بتحويل زاوية المركز من درجات إلى راديان. يتم ذلك بواسطة العلاقة:
   $\text{زاوية بالراديان} = \frac{\text{زاوية بالدرجات} \times \pi}{180^\circ}$

في هذه الحالة:
$\text{زاوية بالراديان} = \frac{180^\circ \times \pi}{180^\circ} = \pi$

3. حساب طول القوس:
   نقوم بتعويض القيم في القانون الأول:
   $s = \left( \frac{\pi}{360^\circ} \right) \times (2\pi r)$

نقوم بتبسيط العبارة:
$s = \frac{1}{180} \times (2\pi r)$

4. حساب قيمة $r$:
   نعلم أن طول القوس ($s$) يساوي 72 سم، لذا:
   $72 = \frac{1}{180} \times (2\pi r)$

نقوم بحساب قيمة $r$:
$r = \frac{72 \times 180}{2\pi}$

وبتبسيط الكسر:
$r = 36$

إذاً، النصف القطري للدائرة هو 36 سم.

تم استخدام قانون طول القوس وتحويل الزاوية إلى راديان في الحل، وتم استخدام العلاقات الهندسية الأساسية للدائرة والتي ترتبط بزوايا المركز والقوس ونصف القطر.