حل مسألة حسابية: قوانين الأس والتبسيط (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
أوجد قيمة التالي: $\left(\frac{1}{2}\right)^{8} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-3}$

الحل:
لنبدأ بحل المسألة، نستخدم قوانين الأسس لتبسيط التعبيرات. نعرف أن
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
وهذا يساوي العكس تمامًا، يعني $\left(\frac{1}{a}\right)^n = a^{-n}$.

لذا، يمكننا إعادة كتابة العبارة بالشكل التالي:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{8} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-3} = \left(2^{-1}\right)^{8} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3$

الآن، نستخدم قانون الأس لضرب أسس نفس الأساس:
$\left(2^{-1}\right)^{8} = 2^{-8 \times 1} = 2^{-8}$

ونقوم بالعمليات الحسابية:
$\left(2^{-8}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 = 2^{-8} \cdot \left(\frac{64}{27}\right)$

الآن، نعمل عملية الضرب للكسرين:
$2^{-8} \cdot \left(\frac{64}{27}\right) = \frac{2^{-8} \times 64}{27}$

يمكننا أن نقسم العدد 64 على 27 مباشرة، لكن لنبقيها على هذا الشكل لحين الانتهاء من العمليات.

الآن نقوم بتبسيط $2^{-8}$، ونعرف أن
$2^{-8} = \frac{1}{2^8}$

ومن ثم:
$\frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$

إذاً:
$\frac{2^{-8} \times 64}{27} = \frac{\frac{64}{256}}{27} = \frac{\frac{1}{4}}{27}$

وبما أننا نقوم بقسمة عدد على عدد، نقوم بضرب العدد الأول في العدد الثاني واستبدال القسمة بالضرب:
$\frac{\frac{1}{4}}{27} = \frac{1}{4 \times 27}$

والآن نقوم بالعملية الحسابية النهائية:
$\frac{1}{4 \times 27} = \frac{1}{108}$

إذاً، قيمة التعبير المعطى هي $\frac{1}{108}$.

لنقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذكر القوانين المستخدمة:

المعطيات:
نعطى التعبير: $\left(\frac{1}{2}\right)^{8} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-3}$

الخطوات:

1. تبسيط الأسس:
   • نعرف قاعدة الأس المعكوس: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
   • بناءً على هذه القاعدة، نقوم بتبسيط التعبيرات الأسية في المعادلة إلى صورة أكثر بساطة. نقوم بتحويل $\left(\frac{1}{2}\right)^{8}$ إلى $2^{-8}$ و $\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}$ إلى $\left(\frac{4}{3}\right)^3$.
2. استخدام قاعدة الأس لضرب الأسس بنفس الأساس:
   • نستخدم قاعدة الأس لضرب الأسس بنفس الأساس، حيث نجمع الأسس مباشرة ونبقي الأس موجبًا. في هذه الحالة، نضرب الأس $-8$ في $64$ ونترك الأس $-8$ كما هو، ونضرب الكسر $\frac{64}{27}$.
3. التبسيط النهائي:
   • نقوم بتبسيط التعبير الناتج بعد الضرب، وذلك بتقسيم الكسر $\frac{64}{27}$ على $27$ للحصول على القيمة النهائية.

بالتالي، نحصل على الناتج النهائي $\frac{1}{108}$.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الأس العددية، مثل قاعدة الأس المعكوس وقاعدة ضرب الأس، وقمنا بالعمليات الحسابية الأساسية مثل الضرب والقسمة لتبسيط التعابير وحساب القيمة النهائية.