حل مسألة حسابية: تحليل متسلسلة الأعداد (مسألة رياضيات)

المطلوب هو حساب الرقم الوحدات لمجموع تسعة مصطلحات في المتسلسلة $1! + 1, , 2! + 2, , 3! + 3, , …, , 8! + 8$. يتم ذلك عن طريق جمع القيمة المطلوبة لكل مصطلح.

لحساب الرقم الوحدات لكل مصطلح، يمكننا تجزئة كل مصطلح إلى جزئين: الجزء الذي يعتمد على الفاصلة التعجيزية والجزء الذي يعتمد على الرقم الكلي. بعد ذلك، نقوم بجمع هذين الجزئين.

لنقم بحساب الرقم الوحدات لكل مصطلح، يمكننا إجراء الآتي:

1. للجزء الذي يعتمد على الفاصلة التعجيزية، نقوم بتحديد الرقم الواقع بعد الفاصلة.
2. بالنسبة للجزء الذي يعتمد على الرقم الكلي، نقوم بحساب القسمة على 10 ونأخذ الباقي.

بعد حساب هذين الجزئين، نقوم بجمعهما للحصول على الرقم الوحدات للمصطلح الكامل.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه الخطوات على المتسلسلة المعطاة:
$1! + 1, \, 2! + 2, \, 3! + 3, \, …, \, 8! + 8$

1. $1! + 1$
   $1 + 1 = 2$
   الرقم الوحدات: 2

2. $2! + 2$
   $2 + 2 = 4$
   الرقم الوحدات: 4

3. $3! + 3$
   $6 + 3 = 9$
   الرقم الوحدات: 9

4. $4! + 4$
   $24 + 4 = 28$
   الرقم الوحدات: 8

5. $5! + 5$
   $120 + 5 = 125$
   الرقم الوحدات: 5

6. $6! + 6$
   $720 + 6 = 726$
   الرقم الوحدات: 6

7. $7! + 7$
   $5040 + 7 = 5047$
   الرقم الوحدات: 7

8. $8! + 8$
   $40320 + 8 = 40328$
   الرقم الوحدات: 8

الخطوة الثانية في المسألة تتطلب حساب قيمة المتغير $X$ في المعادلة التالية:
$X! + 9 = 8$

لحساب قيمة $X$، نقوم بطرح 9 من القيمة المعطاة:
$X! = 8 – 9 = -1$

من المعروف أن لا يوجد قيمة للعاملين اللامنطقيين، لذا يمكننا أن نستنتج أن هذه المعادلة ليس لها حلا ولا يمكن حساب قيمة للمتغير $X$ بحسب الشروط المعطاة.

بهذا نكون قد حسبنا الرقم الوحدات لكل مصطلح في المتسلسلة المعطاة، وتوقفنا عند التعامل مع المعادلة الثانية بناءً على المعلومات المعطاة في السؤال.

لحل هذه المسألة بشكل مفصل، سنقوم بحساب الرقم الوحدات لكل مصطلح في المتسلسلة المعطاة ومن ثم سنناقش القوانين المستخدمة في الحساب.

لنقم بذلك بشكل تفصيلي:

1. المصطلح الأول:
   $1! + 1$
   حيث $1! = 1$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $1 + 1 = 2$.
   الرقم الوحدات: 2

2. المصطلح الثاني:
   $2! + 2$
   حيث $2! = 2 \times 1 = 2$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $2 + 2 = 4$.
   الرقم الوحدات: 4

3. المصطلح الثالث:
   $3! + 3$
   حيث $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $6 + 3 = 9$.
   الرقم الوحدات: 9

4. المصطلح الرابع:
   $4! + 4$
   حيث $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $24 + 4 = 28$.
   الرقم الوحدات: 8

5. المصطلح الخامس:
   $5! + 5$
   حيث $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $120 + 5 = 125$.
   الرقم الوحدات: 5

6. المصطلح السادس:
   $6! + 6$
   حيث $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $720 + 6 = 726$.
   الرقم الوحدات: 6

7. المصطلح السابع:
   $7! + 7$
   حيث $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $5040 + 7 = 5047$.
   الرقم الوحدات: 7

8. المصطلح الثامن:
   $8! + 8$
   حيث $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$.
   إذاً، الجزء الأول يكون $40320 + 8 = 40328$.
   الرقم الوحدات: 8

الآن، نأتي إلى المعادلة الثانية:
$X! + 9 = 8$

نطرح 9 من الجانبين:
$X! = -1$

هنا يظهر أنه لا يوجد حلا لهذه المعادلة في مجال الأعداد الطبيعية، حيث لا يوجد عاملين متسلسلين يكونان مجموعهما -1. لذلك، نستنتج أن المعادلة ليست قابلة للحل في هذا السياق.

القوانين المستخدمة:

1. حساب الرقم الوحدات:

   • لحساب الرقم الوحدات لعدد، نقوم بجزءين: جزء يعتمد على الفاصلة التعجيزية وجزء يعتمد على الرقم الكلي.
   • نحسب القسمة على 10 ونأخذ الباقي للجزء الذي يعتمد على الرقم الكلي.
   • نحسب الرقم الواقع بعد الفاصلة للجزء الذي يعتمد على الفاصلة التعجيزية.
   • نجمع هذين الجزئين للحصول على الرقم الوحدات.

2. حل المعادلات:

   • نستخدم العمليات الحسابية الأساسية (الجمع والطرح) لحل المعادلات.
   • نطبق العمليات الحسابية لتحديد قيمة المتغير في المعادلة.

هذه القوانين تُستخدم بشكل رئيسي في حل المسألة بطريقة دقيقة وتفصيلية.