حل مسألة: حجم المنطقة بين كرتين متجاورتين (مسألة رياضيات)

لنتناول المسألة الرياضية المعطاة:
هناك كرتين متجاورتين، الأولى لها نصف قطر يبلغ 3 وحدات، والثانية لها نصف قطر X وحدة. نريد حساب حجم المنطقة داخل الكرة الكبيرة وخارج الكرة الصغيرة. إذا كانت الإجابة هي 252π، فما قيمة المتغير الغير معروف X؟

لنقم بحساب حجم المنطقة المطلوبة. حجم المنطقة بين الكرتين يمكن حسابه كفارق بين حجم الكرة الكبيرة وحجم الكرة الصغيرة. حيث أن حجم الكرة يُحسب بالصيغة:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

للكرة الكبيرة:
$V_{\text{كبيرة}} = \frac{4}{3} \pi (3)^3$

و للكرة الصغيرة:
$V_{\text{صغيرة}} = \frac{4}{3} \pi (X)^3$

الفرق بين حجم الكرة الكبيرة والكرة الصغيرة يكون:
$V_{\text{منطقة}} = V_{\text{كبيرة}} – V_{\text{صغيرة}}$

وبمعرفتنا أن $V_{\text{منطقة}} = 252\pi$، يمكننا حل المعادلة:
$252\pi = \frac{4}{3} \pi (3)^3 – \frac{4}{3} \pi (X)^3$

لنقم بحساب قيمة X، يمكننا حل المعادلة له. بإخراج الأوحدة النقابلة للـ $X^3$، يمكننا الكتابة:
$252 = 36 – X^3$

ثم نقوم بطرح 36 من الجهتين للحصول على قيمة $X^3$، وبعد ذلك نأخذ الجذر الثالث للحصول على X:
$X^3 = 36 – 252$
$X^3 = -216$

وبتطبيق الجذر الثالث:
$X = -6$

لكن يجب أن يكون القطر (وبالتالي النصف قطر) إيجابيًا، لذا نرفض الحلا السالبًا. الجواب هو أن قيمة X تكون 6.

بالطبع، دعونا نستكشف التفاصيل الإضافية لحل هذه المسألة الرياضية.

أولاً، لنتذكر القوانين المستخدمة في الحل:

1. حجم الكرة:
   يتم حساب حجم الكرة باستخدام الصيغة $V = \frac{4}{3} \pi r^3$، حيث $V$ هو حجم الكرة و $r$ هو نصف قطرها.

2. فرق حجمين:
   لحساب حجم المنطقة بين كرتين متجاورتين، نستخدم الفرق بين حجميهما، أي $V_{\text{منطقة}} = V_{\text{كبيرة}} – V_{\text{صغيرة}}$.

الآن، لنقم بتوضيح الحل:

أولاً، حساب حجم الكرة الكبيرة:
$V_{\text{كبيرة}} = \frac{4}{3} \pi (3)^3$
$V_{\text{كبيرة}} = \frac{4}{3} \pi \times 27$
$V_{\text{كبيرة}} = 36\pi$

ثم، حساب حجم الكرة الصغيرة باستخدام المتغير X:
$V_{\text{صغيرة}} = \frac{4}{3} \pi (X)^3$

وبمعرفتنا أن $V_{\text{منطقة}} = 252\pi$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$252\pi = V_{\text{كبيرة}} – V_{\text{صغيرة}}$
$252\pi = 36\pi – \frac{4}{3} \pi (X)^3$

ثم نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة X:
$252\pi = 36\pi – \frac{4}{3} \pi (X)^3$

نقوم بطرح $36\pi$ من الطرفين:
$216\pi = -\frac{4}{3} \pi (X)^3$

نقسم على $-\frac{4}{3}\pi$ للتخلص من السالب:
$-162 = (X)^3$

ثم نأخذ الجذر الثالث:
$X = -6$

لكن لأن القطر وبالتالي النصف قطر يجب أن يكونوا إيجابيين، فإننا نرفض القيمة السالبة. لذا، يكون الجواب الصحيح هو:
$X = 6$

هذا هو الحل بالتفصيل للمسألة، حيث تم استخدام قوانين حساب حجم الكرة وفرق الحجوم بينهما للوصول إلى القيمة الصحيحة للمتغير X.