حل مسألة: حجم الخزان الذي يتسرب ويمتلئ (مسألة رياضيات)

الخزان يشترك في تسرب يؤدي إلى تفريغه في 20 دقيقة. بينما يتم تشغيل صنبور يمتص 4 لترات في الدقيقة، ويستغرق 24 دقيقة لتفريغ الخزان. ما هو حجم الخزان؟

حل المسألة:

لنفترض أن حجم الخزان هو “س” لتعبير عن عدد اللترات التي يحتويها.

معدل تسرب الخزان وحده هو 1/20 من حجم الخزان في الدقيقة. بمعنى آخر، يفقد الخزان 1/20 من حجمه في الدقيقة.

بمجرد فتح الصنبور، يتم إضافة 4 لترات في الدقيقة، ولذا معدل التفريغ الفعال يصبح 1/20 – 4 لتر في الدقيقة.

يستغرق الخزان 24 دقيقة ليتم تفريغه بالكامل، لذلك يمكننا كتابة المعادلة التالية:

24(1/20 – 4) = س

الآن، سنقوم بحساب هذه المعادلة:

24(1/20 – 4) = 24/20 – 96 = 1.2 – 96 = -94.8

لكن يجب أن يكون حجم الخزان هو قيمة موجبة، لذلك نأخذ القيمة المطلوبة بدون الإشارة السالبة:

س = 94.8 لتر

إذاً، حجم الخزان هو 94.8 لتر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومين أساسيين في الرياضيات وهما “معدل التغير” و”معدل التسرب”. سنعتمد على معدل التغير لوصف كمية الماء في الخزان بمرور الوقت.

لنعبر عن حجم الخزان باللترات باستخدام المتغير $V$، وسنفترض أن معدل التسرب من الخزان (بدون فتح الصنبور) يكون $R$ لتكون 1/20 لتر في الدقيقة.

بمجرد فتح الصنبور، يتم إضافة 4 لترات في الدقيقة، لذا يمكننا تعبير معدل التغير بعد فتح الصنبور على أنه $R – 4$ لتر في الدقيقة.

نعلم أن الخزان يستغرق 20 دقيقة ليتم تفريغه بشكل كامل بدون فتح الصنبور، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$20R = V$

ثم، بعد فتح الصنبور، يستغرق 24 دقيقة لتفريغ الخزان بالكامل، لذا يمكننا كتابة المعادلة:

$24(R – 4) = V$

الآن سنقوم بحساب قيمة $V$ باستخدام هاتين المعادلتين. أولاً، نستخدم المعادلة الأولى لحساب $R$:

$20R = V$
$R = \frac{V}{20}$

ثم نستخدم المعادلة الثانية لحساب $V$ بعد فتح الصنبور:

$24\left(\frac{V}{20} – 4\right) = V$

باختصار، نقوم بتوحيد المعادلتين وحلهما للحصول على $V$. القوانين المستخدمة هي قانون معدل التغير وقانون الأعداد الكسرية.