حل مسألة: حجم الأسطوانة بعد التغييرات (مسألة رياضيات)

نتسلّم بأن حجم الأسطوانة الأصلية يُعبّر عنه بالمتغير $X$ وحجمها بعد التغييرات المطلوبة يُعبّر عنه بالمتغير $120$ (وحدة الحجم في الحالتين هي القدم المكعبة).

لنحسب حجم الأسطوانة الأصلية بالنسبة لمعلوماتنا:

نعلم أن حجم الأسطوانة يُعطى بالصيغة:
$V = \pi r^2 h$
حيث $V$ هو حجم الأسطوانة، $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

نعلم أن القطر هو ضعف القطر الأصلي، والارتفاع هو ثلاثة أضعاف الارتفاع الأصلي.

إذن، نقدر أن القطر الأصلي يُعبر عنه بـ $d$ والارتفاع الأصلي يُعبر عنه بـ $h_0$.

بما أن القطر مرتبط بالنصف قطر بالعلاقة $d = 2r$، يعني النصف قطر يمثل النصف من قيمة القطر، أي $r = \frac{d}{2}$.

الآن لدينا أن $d = 2r$ و $h = 3h_0$.

بعد التعويض في صيغة حجم الأسطوانة، نحصل على العلاقة التالية لحجم الأسطوانة بعد التغييرات:
$V’ = \pi (2r)^2 \times (3h_0)$

ومنها:
$V’ = \pi (4r^2) \times (3h_0)$
$V’ = 12 \pi r^2 h_0$

نعلم أن $V’ = 120$ قدم مكعبة ونستخدم هذا لحساب قيمة $X$ الأصلية.

إذاً:
$120 = 12 \pi r^2 h_0$

لكن نحتاج لقيمة $X$ التي تعبر عن حجم الأسطوانة الأصلية.

بالتعويض، نحصل على:
$X = \pi r^2 h_0$

لكن نحتاج إلى القيمة العددية لـ $X$.

سنقوم بتعويض القيم المعطاة لنا في المعادلة الأصلية ونحسب $X$.

لدينا $V = X = \pi r^2 h_0$ وقدمنا تعويضاتنا في العلاقات السابقة، لذا:

$X = \frac{120}{12} = 10 \pi r^2 h_0$

وبما أن $X$ هو الحجم الأصلي للأسطوانة، فإن قيمة $X$ تكون $10 \pi r^2 h_0$ قدم مكعبة.

بهذا الشكل، قمنا بحساب القيمة العددية للمتغير $X$ وهي $10 \pi r^2 h_0$ قدم مكعبة.

لحل المسألة، سنستخدم القوانين الخاصة بحساب حجم الأسطوانة ونستفيد من المعلومات المعطاة لنا حول التغييرات في أبعادها. القوانين التي سنستخدمها هي:

1. صيغة حجم الأسطوانة:
   حجم الأسطوانة يُحسب بالصيغة التالية:
   $V = \pi r^2 h$
   حيث $V$ هو حجم الأسطوانة، $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

2. العلاقة بين القطر والنصف قطر:
   القطر يساوي ضعف النصف قطر، أي $d = 2r$.

3. التغييرات في الأبعاد:
   في المسألة المعطاة، تضاعف قيمة القطر وتضاعف مربعه، وتتضاعف قيمة الارتفاع ثلاث مرات.

الآن، لنقم بحل المسألة:

لنفترض أن الحجم الأصلي للأسطوانة يُمثّله $X$ قدم مكعبة.

بما أن القطر يتضاعف، فإن النصف قطر يتضاعف أيضًا، لذا $r$ يُصبح $\frac{d}{2}$.
ونصف القطر بعد التغييرات يُمثّل القطر الجديد مقسومًا على 2.

بعد التعويض في صيغة حجم الأسطوانة، نحصل على العلاقة التالية لحجم الأسطوانة بعد التغييرات:
$V’ = \pi (2r)^2 \times (3h_0)$
$V’ = \pi (4r^2) \times (3h_0)$
$V’ = 12 \pi r^2 h_0$

حيث $h_0$ هو ارتفاع الأسطوانة الأصلي.

ومن المعطيات في المسألة، نعلم أن $V’ = 120$ قدم مكعبة.

إذاً:
$120 = 12 \pi r^2 h_0$

وبالتالي:
$X = \pi r^2 h_0$

نقوم بتعويض القيم المعطاة في المعادلة الأصلية لحجم الأسطوانة لحساب قيمة $X$ الأصلية.

بالتعويض، نحصل على:
$X = \frac{120}{12} = 10 \pi r^2 h_0$

وهذا يعبر عن الحجم الأصلي للأسطوانة. تم حل المسألة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه والتعويض في العلاقات المعطاة.