حل مسألة: جمع زوايا التانجنت (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير $\arctan \frac{2}{5} + \arctan \frac{5}{2}$.

لحساب هذا التعبير، سنستخدم خاصية الجمع لدالة الظل العكسي للتمام المثلثي (التانجنت)، حيث ينطبق القانون التالي:
$\arctan x + \arctan y = \arctan \left(\frac{x + y}{1 – xy}\right)$

باستخدام هذا القانون، نحسب:
$\arctan \frac{2}{5} + \arctan \frac{5}{2} = \arctan \left(\frac{\frac{2}{5} + \frac{5}{2}}{1 – \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}\right)$
$= \arctan \left(\frac{\frac{4 + 25}{10}}{1 – \frac{10}{10}}\right)$
$= \arctan \left(\frac{\frac{29}{10}}{1 – 1}\right)$
$= \arctan \left(\frac{\frac{29}{10}}{0}\right)$

في هذه المرحلة، نلاحظ أن المقام صفر، مما يعني أن الزاوية التي نبحث عن قيمتها هي الزاوية التي تمثل النسبة بين القطعتين المتطابقتين على الجانب المقابل للزاوية اليمنى القائمة في المثلث. ومن المعروف أن هذه الزاوية تكون بمقدار $\frac{\pi}{2}$.

إذاً، قيمة التعبير هي $\frac{\pi}{2}$ بالراديان.

بالطبع، دعني أوضح الخطوات بشكل مفصل لحل المسألة وذكر القوانين المستخدمة.

المسألة تتطلب حساب قيمة التعبير $\arctan \frac{2}{5} + \arctan \frac{5}{2}$.

الآن، سنقوم بتطبيق قوانين دوال الظل العكسي للتمام المثلثي (التانجنت) لحل هذا التعبير. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون جمع الظل العكسي للتمام المثلثي:
   $\arctan x + \arctan y = \arctan \left(\frac{x + y}{1 – xy}\right)$

2. دالة التمام المثلثي (التانجنت):
   دالة التمام المثلثي تعطي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها في مثلث قائم الزاوية.

الآن دعنا نقوم بحل المسألة:

1. نستخدم قانون جمع الظل العكسي للتمام المثلثي:
   $\arctan \frac{2}{5} + \arctan \frac{5}{2} = \arctan \left(\frac{\frac{2}{5} + \frac{5}{2}}{1 – \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}\right)$

2. نقوم بحساب المقام والبسط داخل الدالة الظلية:
   $\text{المقام: } \frac{\frac{2}{5} + \frac{5}{2}}{1 – \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$
   $\text{البسط: } \frac{2}{5} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 25}{10} = \frac{29}{10}$
   $\text{المقام: } 1 – \frac{10}{10} = 1 – 1 = 0$

3. نحسب القيمة النهائية للتعبير:
   $\arctan \left(\frac{\frac{29}{10}}{0}\right)$

في هذه المرحلة، المقام يتساوى صفر، الأمر الذي يعني أن الزاوية التي نبحث عن قيمتها هي الزاوية التي تمثل النسبة بين القطعتين المتطابقتين على الجانب المقابل للزاوية اليمنى القائمة في المثلث، وهي زاوية قيمتها $\frac{\pi}{2}$ بالراديان.

هذا هو الحل الكامل للمسألة، باستخدام قوانين دوال الظل العكسي للتمام المثلثي وفهم خصائص المثلثات والزوايا في المثلثات.