حل مسألة: جذور معادلة درجة ثالثة (مسألة رياضيات)

لنعيد كتابة المعادلة الرياضية وحل المسألة:

نُعطى معادلة: $2x^3 – 7x^2 – 6 = 0$، حيث $r,$ $s,$ $t$ هي جذورها.

لحساب $rst$، نستخدم خواص الجذور ومعادلات الجذور.

1. نستخدم المعادلة الرياضية $2x^3 – 7x^2 – 6 = 0$ لحساب الجذور.

2. نستخدم قاعدة في علم الجبر تقول بأنّه إذا كانت $r,$ $s,$ و $t$ هي جذور معادلة من الدرجة الثالثة، فإنّ المعادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي: $(x – r)(x – s)(x – t) = 0$.

3. نقوم بفتح وتوسيع القوس للحصول على المعادلة بصيغتها القياسية.

4. بمقارنة الأعضاء المتشابهة، نحصل على قيمة مجموع جذور المعادلة $rst$.

لنقم بالحساب:

من المعادلة $2x^3 – 7x^2 – 6 = 0$، نستخدم طريقة تقسيم العوامل لحساب الجذور.

بالتقسيم الصفري، نجد أن $x = 2$ هو عامل للمعادلة. فنكتب المعادلة بشكل المضاعفات كما يلي:
$2x^3 – 7x^2 – 6 = (x – 2)(ax^2 + bx + c)$

نحسب قيم العوامل $a,$ $b,$ و$c$ بعد ذلك نضع المعادلة في الشكل القياسي.

$2x^3 – 7x^2 – 6 = (x – 2)(2x^2 – 3x + 3)$

نحل المعادلة الثانية درجة:
$2x^2 – 3x + 3 = 0$

باستخدام الصيغة العامة لحساب الجذر الثاني من المعادلة الثانوية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2,$ $b = -3,$ $c = 3$.

يكون الحل كما يلي:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(2)(3)}}{2(2)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 24}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{-15}}{4}$

نلاحظ أن الجذر تحت الجذر يكون سالباً، لذلك ليس لدينا جذر حقيقي، بل لدينا جذر مختلط. لذا يتم تمثيله بوحدة التخيل $i$.

التعبير $\sqrt{-15}$ يتم تمثيله بـ $\sqrt{15}i$.

لذا الجذور هي:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{15}i}{4}$

بما أن الجذور $r,$ $s,$ $t$ هي أشكال معقدة، فإن $rst$ يمكن حسابه على النحو التالي:

$rst = (2)(\frac{3 + \sqrt{15}i}{4})(\frac{3 – \sqrt{15}i}{4})$

$= \frac{2}{16}(9 – 15i^2)$

$= \frac{1}{8}(9 + 15)$

$= \frac{24}{8}$

$= 3$

إذاً، قيمة $rst$ هي $3$.

لحل المسألة واستنتاج قيمة $rst$ في معادلة $2x^3 – 7x^2 – 6 = 0$، نحتاج إلى استخدام العديد من الخطوات الرياضية والمفاهيم. سنستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. معادلات التفاضل والتكامل: نستخدم المعادلة الأساسية $2x^3 – 7x^2 – 6 = 0$ لتحديد العلاقة بين معاملات الدرجات المختلفة في المعادلة.

2. قواعد جذور المعادلات: نستخدم قواعد جذور المعادلات لتحديد العلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها.

3. صيغ بشكل المضاعفات: نستخدم صيغة بشكل المضاعفات لتحديد كيفية تحليل المعادلة إلى عواملها الأساسية.

4. صيغة حل المعادلة الثانوية: نستخدم صيغة حل المعادلة الثانوية لحساب الجذور الحقيقية أو المعقدة.

5. الجمع والضرب للأعداد المعقدة: نستخدم قوانين الجمع والضرب للأعداد المعقدة للتعامل مع الجذور المعقدة.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نقوم بتحليل المعادلة، وتحديد جذورها، ومن ثم حساب قيمة $rst$ كما تم في الإجابة السابقة.

سنقوم بتحليل المعادلة إلى عواملها، ومن ثم حساب الجذور باستخدام صيغة حل المعادلة الثانوية، وأخيرًا نضرب الجذور للحصول على $rst$.

هذه الخطوات تتطلب فهمًا جيدًا للجبر والعمليات الجذرية وقواعد العمليات مع الأعداد المعقدة للتوصل إلى الحل بشكل دقيق وصحيح.