حل مسألة: جذور المعادلات الثانوية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ و $b$ هما جذرا المعادلة $x^2 – mx + 2 = 0$، و $a + \frac{1}{b}$ و $b + \frac{1}{a}$ هما جذرا المعادلة $x^2 – px + q = 0$، فما قيمة $q$؟

المعادلة الأولى: $x^2 – mx + 2 = 0$

المعادلة الثانية: $x^2 – px + q = 0$

نعلم أن مجموع الجذرين للمعادلة من الدرجة الثانية $x^2 – mx + 2 = 0$ هو $a + b = m$، ومنتجهما هو $ab = 2$.

نريد الآن حساب $a + \frac{1}{b}$ و $b + \frac{1}{a}$.
بالنظر إلى $a + \frac{1}{b}$، نقوم بتجميع الجذرين كتالي:

$a + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b} = \frac{2 + 1}{b} = \frac{3}{b}$

بنفس الطريقة، نجد $b + \frac{1}{a}$:

$b + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a} = \frac{a + 1}{a} = \frac{m + 1}{a}$

الآن، لدينا المعادلة $x^2 – px + q = 0$ حيث $a + \frac{1}{b}$ و $b + \frac{1}{a}$ هما الجذران. ونعلم أن مجموع الجذرين هو $p$ ومنتاجهما هو $q$.

بالتالي،

$p = a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} = \frac{3}{b} + \frac{m + 1}{a}$

الآن نجد منتاج الجذرين:

$q = (a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) = (\frac{3}{b})(\frac{m + 1}{a}) = \frac{(m + 1)3}{ab}$

ومن المعادلة الأولى نعلم أن $ab = 2$، لذا:

$q = \frac{(m + 1)3}{2}$

إذاً، قيمة $q$ هي $\frac{(m + 1)3}{2}$.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الأساسية في جبر الأعداد.

لنبدأ بتفصيل الحل:

1. المعادلة الأولى: $x^2 – mx + 2 = 0$، لها جذران $a$ و $b$.
2. المعادلة الثانية: $x^2 – px + q = 0$، لها جذران $a + \frac{1}{b}$ و $b + \frac{1}{a}$.

نحن بحاجة إلى استخدام العلاقات الأساسية بين جذور المعادلات.

1. قانون مجموعة الجذور: إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما جذرا المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$.
2. قانون منتج الجذور: إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما جذرا المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع حساب قيمة $a + \frac{1}{b}$ و $b + \frac{1}{a}$، ومن ثم حساب قيمة $p$ و $q$.

أولاً، نستخدم قانون مجموعة الجذور للمعادلة الأولى:
$a + b = m$

ونستخدم قانون منتج الجذور للمعادلة الأولى:
$ab = 2$

ثم نستخدم هذه العلاقات لحساب $a + \frac{1}{b}$ و $b + \frac{1}{a}$.

$a + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b} = \frac{2 + 1}{b} = \frac{3}{b}$

$b + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a} = \frac{m + 1}{a}$

بعد ذلك، نستخدم قوانين المجموع والمنتج للعثور على قيم $p$ و $q$.

$p = a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} = \frac{3}{b} + \frac{m + 1}{a}$

$q = (a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) = \frac{(m + 1)3}{ab}$

من المعادلة الأولى، نعلم أن $ab = 2$، لذا:

$q = \frac{(m + 1)3}{2}$

هذا هو الحل الكامل للمسألة باستخدام القوانين الأساسية في جبر الأعداد.