حل مسألة: ثوابت المعادلات التربيعية (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد حاصل ضرب جميع الثوابت $t$ بحيث يمكن تفكيك المعادلة التربيعية $x^2 + tx – 10$ على شكل $(x+a)(x+b)$، حيث $a$ و $b$ عددين صحيحين.

لنقم بتفكيك المعادلة التربيعية $(x+a)(x+b)$ لنحصل على:
$x^2 + (a+b)x + ab$

ومن المعادلة المعطاة $x^2 + tx – 10$، يمكننا ملاحظة أن:
$a+b = t$
$ab = -10$

نريد أن نجد جميع الأعداد $t$ التي تتيح تفكيك المعادلة. للقيام بذلك، يجب علينا أولاً أن نجد جميع الأزواج $(a, b)$ التي تحقق $ab = -10$.

الأزواج الممكنة للأعداد $-10$ هي: $(-10, 1)$ و $(10, -1)$ و $(-5, 2)$ و $(5, -2)$.

الآن، لنجد مجموع الأعداد في كل زوج للحصول على $t$:
$t = a + b$

لكل زوج من الأعداد $(a, b)$:
$t_1 = -10 + 1 = -9$
$t_2 = 10 – 1 = 9$
$t_3 = -5 + 2 = -3$
$t_4 = 5 – 2 = 3$

الآن نحتاج إلى حساب حاصل ضرب جميع الثوابت $t$:
$(-9) \times (9) \times (-3) \times (3) = 243$

إذاً، حاصل الضرب لجميع الثوابت $t$ التي تتيح تفكيك المعادلة هو $243$.

لحل المسألة وإيجاد حاصل ضرب جميع الثوابت $t$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تحليل المعادلة التربيعية:
   المعادلة التربيعية التي نعطى هي $x^2 + tx – 10$، حيث $t$ هو الثابت الذي نبحث عنه.

2. تفكيك المعادلة التربيعية:
   نريد تفكيك المعادلة التربيعية إلى عاملين من الدرجة الأولى بحيث تكون في الشكل $(x+a)(x+b)$.

3. تمثيل العلاقات:
   إذا تم تفكيك المعادلة إلى $(x+a)(x+b)$، فإنه يجب أن تكون العلاقات التالية صحيحة:

   • $a + b = t$
   • $ab = -10$

4. إيجاد الأزواج الممكنة:
   نبحث عن جميع الأزواج $(a, b)$ التي تحقق العلاقة $ab = -10$.

5. حساب القيم الممكنة للثابت $t$:
   بعد العثور على الأزواج الممكنة $(a, b)$، نحسب قيمة $t$ باستخدام العلاقة $t = a + b$.

6. حساب حاصل الضرب:
   بمجرد الحصول على جميع القيم الممكنة للثابت $t$، نقوم بضربها جميعًا للحصول على حاصل الضرب النهائي.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون الضرب:
   في الخطوة الأخيرة، نستخدم قانون الضرب لضرب جميع الثوابت $t$ معًا للحصول على الناتج النهائي.

2. قانون العلاقات بين جذور المعادلة:
   استخدمنا العلاقات بين جذور المعادلة التربيعية ومعاملاتها لإيجاد العلاقات بين الأعداد $a$ و $b$ و $t$.

3. قانون حساب الأعداد:
   تطبيق قوانين الجبر في حساب القيم الممكنة للثابت $t$ باستخدام العلاقات المعطاة.

4. قانون العد البسيط:
   استخدمنا قوانين العد البسيط لإيجاد جميع الأزواج الممكنة من الأعداد التي يمكن أن تعطي حاصل ضرب $-10$.

بهذه الطريقة، يمكننا حل المسألة بدقة وفهم أعمق للعلاقات الرياضية الموجودة في المعادلة التربيعية المعطاة.