حل مسألة ثلاثية قائمة: حساب الوتر (مسألة رياضيات)

الأطوال لأضلاع مثلث قائم الزاوية هي $\log_4 27$ و $\log_2 9$. نريد حساب طول الوتر (الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة).

لنقم بحساب قيمة $\log_4 27$ و $\log_2 9$ أولاً:

$\log_4 27 = \frac{\log_{10} 27}{\log_{10} 4}$

ونعلم أن $\log_{10} 27 = 1.431$ و$\log_{10} 4 = 0.602$

إذاً: $\log_4 27 = \frac{1.431}{0.602} \approx 2.375$

الآن لحساب $\log_2 9$:

$\log_2 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 2}$

ونعلم أن $\log_{10} 9 = 0.954$ و $\log_{10} 2 = 0.301$

إذاً: $\log_2 9 = \frac{0.954}{0.301} \approx 3.167$

الآن، بما أننا يمكننا أن نعبر عن $4$ باستخدام $2$، يمكننا حساب قيمة $\log_2 4$، التي تساوي $2$، وبالتالي:

$\log_2 4 = 2$

الآن نستخدم ذلك لتحويل $\log_4 27$ إلى التعبير بشكل مناسب لحساب الوتر. نستخدم قاعدة تغيير الأساس في اللوغاريتمات:

$\log_4 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^3}{2} = \frac{3\log_2 3}{2}$

ونعلم أن $\log_2 3 \approx 1.585$:

$\frac{3 \times 1.585}{2} \approx 2.3775$

الآن، بما أننا لدينا طولي الأضلاع الآخرين وطول الوتر، يمكننا حساب طول الوتر باستخدام قاعدة فيثاغورس:

$h^2 = (\log_2 9)^2 + (\log_4 27)^2$

$h^2 = (3.167)^2 + (2.3775)^2$

$h^2 = 10.008 + 5.656$

$h^2 \approx 15.664$

الآن، نحسب قيمة $4^h$:

$4^h = 4^{\sqrt{15.664}} \approx 4^{3.958} \approx 429.934$

إذاً، قيمة $4^h$ تقريباً تساوي $429.934$.

في حل المسألة، نستخدم المفهوم الأساسي للثلاثيات القائمة وقانون فيثاغورس لحساب طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) في المثلث. هنا الخطوات بالتفصيل:

1. الثلاثيات القائمة وقانون فيثاغورس: في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) مساويًا لمجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين.

2. تحويل اللوغاريتمات: لتسهيل الحسابات، نقوم بتحويل اللوغاريتمات إلى أسس مشتركة. في هذه المسألة، تم تحويل $\log_4 27$ إلى قاعدة $2$، و $\log_2 9$ تم تحويلها إلى نفس القاعدة لحساب القيم بسهولة.

3. قوانين اللوغاريتمات: نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتبسيط التعابير وحساب القيم بدقة، بما في ذلك قاعدة التغيير وقاعدة الضرب والقوة.

4. الحسابات الجبرية والحسابية: نقوم بإجراء العمليات الجبرية والحسابية لحساب القيم بدقة، بما في ذلك الجمع، الطرح، الضرب، والقسمة.

5. التقريب: في النهاية، نقوم بتقريب القيم إلى الأرقام الصحيحة أو الأعداد القريبة للحصول على الإجابة النهائية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حساب طول الوتر وبالتالي حساب $4^h$، الذي يعتمد على الناتج النهائي للعملية الحسابية.