حل مسألة توزيع الكرات بفعالية (مسألة رياضيات)

لدي ليزا 10 أصدقاء وX عدد من الكرات. ما هو الحد الأدنى لعدد الكرات الإضافية التي تحتاجها حتى تتمكن من إعطاء كل صديق على الأقل كرة ولا يتلقى صديقين أي عدد متشابه من الكرات؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 21، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لحساب الحد الأدنى لعدد الكرات الإضافية التي تحتاجها ليزا، يمكننا استخدام مبدأ العدم التكرار، حيث يجب أن يكون عدد الكرات كافيًا لتلبية احتياجات كل صديق.

إذا كان لدينا 10 أصدقاء، فإن الحد الأدنى لعدد الكرات يحدث عندما يحصل الصديق الأول على كرة واحدة، الصديق الثاني على كرتين، وهكذا، حتى الصديق العاشر الذي سيحصل على 10 كرات. لذا، العدد الكلي للكرات يمكن حسابه بمجموع الأعداد من 1 إلى 10.

$X = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10$

يمكن استخدام الصيغة لحساب مجموع تسلسل الأعداد الطبيعية:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

حيث $S_n$ هو مجموع أول n أعداد طبيعية. في هذه الحالة، نستخدمها لحساب $X$:

$X = \frac{10 \cdot (10+1)}{2} = 55$

الآن، لمعرفة عدد الكرات الإضافية اللازمة، نطرح العدد الحالي من الإجمالي المطلوب:

$عدد\ الكرات\ الإضافية = 21 – X = 21 – 55 = -34$

نجد أن العدد غير ممكن (سالب)، وهذا يشير إلى أن هناك خطأ في البيانات. يمكن أن يكون هناك خطأ في السؤال أو في الإجابة المعطاة. يفضل التحقق من المعلومات المقدمة للتأكد من صحة السياق.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم العدم التكرار ونعتمد على قوانين الجمع والتسلسل الحسابي. سنقوم بتوضيح الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. فهم المشكلة:

   • لدينا ليزا ولديها 10 أصدقاء.
   • نحتاج إلى حساب الحد الأدنى لعدد الكرات الإضافية التي تحتاجها لتوزيعها على الأصدقاء بحيث يحصل كل صديق على كرة واحدة على الأقل، ولا يحصل أي صديقين على نفس العدد.

2. استخدام قاعدة الجمع:

   • نريد حساب مجموع الأعداد من 1 إلى 10. يمكننا استخدام قاعدة الجمع لحساب المجموع:
     $X = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10$

3. قاعدة التسلسل الحسابي:

   • نستخدم قاعدة التسلسل الحسابي لحساب مجموع تسلسل الأعداد الطبيعية:
     $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

4. حساب قيمة X:

   • نستخدم قاعدة التسلسل الحسابي لحساب قيمة X:
     $X = \frac{10 \cdot (10+1)}{2} = 55$

5. حساب عدد الكرات الإضافية:

   • نستخدم القاعدة الأساسية للجمع:
     $عدد\ الكرات\ الإضافية = \text{الإجابة المعطاة} – X$
     $عدد\ الكرات\ الإضافية = 21 – 55 = -34$

6. تحليل النتيجة:

   • إذا كان الناتج سالبًا، فهناك خطأ في البيانات أو في الإجابة المعطاة.

باختصار، في حل المسألة استخدمنا قوانين الجمع والتسلسل الحسابي لتحديد قيمة X ومن ثم حساب عدد الكرات الإضافية. الناتج السالب يشير إلى وجود خطأ، ومن المهم التحقق من المعلومات المقدمة للتأكد من صحة السياق.