حل مسألة: توزيع الكرات بالتساوي (مسألة رياضيات)

إذا كان لديك 10 أصدقاء و 34 كرة زجاجية، فما هو أقل عدد من الكرات الإضافية التي تحتاجها لتعطي كل صديق على الأقل كرة واحدة وتضمن عدم تكرار عدد الكرات بين أي صديقين؟

لنحسب ما إذا كانت 34 كرة كافية لتوزيعها على الأصدقاء دون تكرار العدد نفسه. نبدأ بإعطاء كل صديق كرة واحدة، مما يستهلك 10 كرات. الآن لدينا 24 كرة متبقية.

الآن، لتجنب التكرار، نحتاج إلى توزيع الكرات المتبقية بحيث لا يحصل أي صديق على نفس عدد الكرات. يمكننا بدأ بإعطاء الكرة الإضافية للصديق الذي يحصل على أقل عدد من الكرات، ومن ثم الصديق الذي يحصل على العدد التالي الأقل، وهكذا.

نظرًا لأن لدينا 24 كرة متبقية و 9 أصدقاء، فإن أقل عدد من الكرات يمكن أن يحصل عليه الصديق هو واحدة، والعدد التالي هو اثنتان، وهكذا حتى نصل إلى 9 كرات. وبعد ذلك، يحتاج الصديق العاشر إلى 10 كرات على الأقل لضمان عدم تكرار العدد.

نجمع الأعداد من 1 إلى 9:
$1 + 2 + 3 + \ldots + 9 = \frac{{9 \times (9 + 1)}}{2} = \frac{{9 \times 10}}{2} = 45$

إذاً، لتوزيع الكرات على الأصدقاء دون تكرار، نحتاج إلى $45 – 24 = 21$ كرة إضافية.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم التوزيع المتساوي مع قوانين الجمع والتناقص والتساوي في العدد.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التوزيع المتساوي: يقتضي أنه عندما نقسم كمية معينة من العنصر إلى مجموعة من الأشخاص، فيجب أن يكون التوزيع عادلًا ومتساويًا بحيث يحصل كل شخص على حصته العادلة.

2. قانون الجمع والتناقص: نحتاج إلى جمع عدد الأشياء الموجودة ومن ثم تقسيمها بالشكل الأكثر تكافؤًا بين الأشخاص.

3. قانون التساوي في العدد: ينص على أن نفس العدد لا يمكن أن يظهر مرتين في العملية.

الآن دعونا نفكر في العدد الأدنى من الكرات الإضافية التي تحتاجها ليزا لتحقيق الشروط المذكورة:

أولاً، نوزع كرة واحدة لكل صديق. هذا يعني أنه تم استخدام 10 كرات من إجمالي 34، لتبقى 24 كرة.

ثم، نحتاج إلى توزيع الكرات المتبقية (24 كرة) بحيث لا يكون هناك تكرار في العدد المستلم من الكرات.

نبدأ بإعطاء كل صديق كرة واحدة، ثم نزيد كرة واحدة لكل صديق بحيث يزيد عدد الكرات بقيمة متزايدة بدءًا من الصديق الذي يحصل على أقل عدد من الكرات. وهكذا حتى يحصل الصديق العاشر على 10 كرات على الأقل.

لحساب عدد الكرات التي نحتاجها، نستخدم القانون الذي يقول إن مجموع الأعداد من 1 إلى n يمكن حسابه بالصيغة:

$\text{مجموع الأعداد من 1 إلى n} = \frac{{n \times (n + 1)}}{2}$

حيث $n$ هو العدد الأخير في السلسلة.

في هذه الحالة، عدد الكرات الإضافية التي نحتاجها هو:

$\text{مجموع الأعداد من 1 إلى 9} = \frac{{9 \times (9 + 1)}}{2} = \frac{{9 \times 10}}{2} = 45$

ثم نطرح عدد الكرات التي لدينا بالفعل، وهي 24 كرة:

$45 – 24 = 21$

لذا، لتحقيق الشروط المطلوبة، يحتاج ليزا إلى 21 كرة إضافية على الأقل.