حل مسألة تنزيل الفيلم بفعالية

يقوم بيل بتنزيل فيلم “Revenge of the Avengers” إلى جهاز الكمبيوتر الخاص به في مدة 2.5 ساعة باستخدام برنامج إدارة التنزيل الذي يقوم بالتنزيل من 3 مصادر محددة هي a و b و c. كل مصدر يوفر التنزيل بسرعة ثابتة، ولكن سرعات المصادر المختلفة ليست بالضرورة متطابقة. إذا تم تنزيل الفيلم من مصادر a و c فقط، سيستغرق الأمر 4 ساعات لاستكمال التنزيل. في اليوم التالي، يكون المصدر b متاحًا، ولكن المصادر الأخرى غير نشطة. كم سيستغرق تنزيل مقطع الفيلم، وهو ملف 10 مرات أصغر، من المصدر b وحده؟

حل:
لنمثل سرعة التنزيل من كل مصدر بوحدة مناسبة، سنفترض أن سرعة التنزيل من المصدر a تكون $a$ وسرعة التنزيل من المصدر b تكون $b$، وسرعة التنزيل من المصدر c تكون $c$.

نعلم أن بيل قام بتحميل الفيلم في 2.5 ساعة من الثلاث مصادر معًا، لذلك يمكننا كتابة المعادلة التالية:

ونعلم أيضًا أنه إذا تم استخدام مصادر a و c فقط، سيستغرق التنزيل 4 ساعات، لذلك نكتب المعادلة التالية:

نحل هذين المعادلتين للعثور على قيم $a$ و $c$، ثم نستخدم القيم المعروفة في معادلة لحساب $b$، حيث أن مصدر b هو الوحيد النشط في اليوم التالي:

بعد حساب القيم، يمكننا استخدام القانون التالي لحساب الزمن اللازم لتنزيل الملف الأصغر من المصدر b وحده:

ستكون الإجابة النهائية في صورة تعبير رياضي يمكن حسابه للحصول على النتيجة الصحيحة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليلها واستخدام مفهوم قوانين الحساب والتناسب. سنقوم بتمثيل سرعات التنزيل من المصادر باستخدام المتغيرات $a$، $b$، و $c$، وذلك بوحدة مناسبة، مثل “الوحدات في الساعة” مثلاً.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو قانون التناسب العكسي. إذا كانت الكمية $y$ تعتمد على كمية $x$ بنسبة عكسية، فإن العلاقة بينهما تكون كالتالي:

$y \propto \frac{1}{x}$

نستخدم هذا القانون لتمثيل العلاقة بين سرعات التنزيل وأوقات التنزيل.

القانون الثاني هو قانون جمع الكسور. إذا كان لدينا عدة كسور تمثل كميات مختلفة تؤثر في نتيجة نهائية، فيمكننا جمع هذه الكسور للحصول على الكسر النهائي الذي يعبر عن النتيجة الإجمالية.

الآن، لنقم بكتابة المعادلات الرياضية:

1. معادلة تعبر عن وقت التنزيل الكلي للفيلم:
   $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2.5}$

2. معادلة تعبر عن وقت التنزيل عند استخدام المصادر a و c فقط:
   $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{4}$

حل المعادلات يتطلب تحويل الكسور وحساب القيم الغير معروفة $a$ و $c$ ومن ثم استخدام القيم المعروفة في معادلة لحساب الوقت اللازم لتنزيل الملف الأصغر من المصدر b وحده. يتم ذلك باستخدام قانون التناسب العكسي وقانون جمع الكسور.

الهدف النهائي هو الوصول إلى قيم $a$ و $c$ و $b$ ثم استخدامها في الحسابات للحصول على الوقت النهائي المطلوب لتنزيل الملف الأصغر.