حل مسألة تكوين أرقام خماسية بشرط

في هذه المسألة، يُطلب منا إيجاد عدد الأعداد الصحيحة المكونة من 5 أرقام، حيث يجب استخدام الأرقام من 1 إلى 5 مرة واحدة فقط، ولكن يشترط أن تكون الرقم 3 والرقم 4 لا يمكن أن يكونا جنبًا إلى جنب. لنقوم بإعادة صياغة المسألة بشكل أوسع وأكثر تفصيلاً.

نعتبر العدد الصحيح المكون من 5 أرقام، وسنقوم بتحديد عدد الطرق الممكنة لترتيب هذه الأرقام. يمكننا تحديد الخطوات كما يلي:

1. تحديد الموقع الأول:
   لدينا 5 خيارات لاختيار الرقم الأول، أي أن هناك 5 طرق لاختيار الرقم الأول.

2. تحديد الموقع الثاني:
   بعد اختيار الرقم الأول، نظل بأربعة أرقام. ونظرًا لأن الرقمين 3 و 4 لا يمكن أن يكونا جنبًا إلى جنب، لدينا 4 طرق لاختيار الرقم الثاني.

3. تحديد الموقع الثالث:
   بعد اختيار الرقم الثاني، نظل بثلاثة أرقام. هنا ليس هناك أي قيد على اختيار الرقم الثالث، لذلك هناك 3 طرق لاختيار الرقم الثالث.

4. تحديد الموقع الرابع:
   بعد اختيار الرقم الثالث، نظل برقمين. هنا نعود للشرط الذي يحظر وجود الرقمين 3 و 4 جنبًا إلى جنب، لذلك لدينا مجددًا 4 طرق لاختيار الرقم الرابع.

5. تحديد الموقع الخامس:
   بعد اختيار الرقم الرابع، نظل برقم واحد. ولأننا لا نفرض أي شرط على اختيار الرقم الخامس، لدينا طريقة واحدة لاختيار الرقم الخامس.

الآن، نقوم بضرب عدد الطرق الممكنة في كل خطوة:

$5 \times 4 \times 3 \times 4 \times 1 = 240$

إذاً، هناك 240 عدد صحيح مكون من 5 أرقام يمكن تكوينها باستخدام الأرقام 1 إلى 5 مرة واحدة، وحيث أن الرقمين 3 و 4 لا يمكن أن يكونا جنبًا إلى جنب.

حل المسألة يعتمد على مفهوم ترتيب الأرقام واستخدام قوانين الاحتمالات. سنقوم بتوضيح الخطوات بشكل أكثر تفصيلًا وسنشير إلى القوانين المستخدمة.

1. تحديد الموقع الأول:

   • هناك 5 أرقام مختلفة يمكن استخدامها للموقع الأول.
   • قانون الضرب: لأنه يتعلق بخيار واحد يتم اختياره من بين 5 خيارات، نستخدم القاعدة التالية: $عدد\ الطرق = عدد\ الخيارات$.

2. تحديد الموقع الثاني:

   • بعد اختيار الرقم الأول، لدينا 4 أرقام متبقية للاختيار من بينها للموقع الثاني.
   • قانون الضرب: $عدد\ الطرق = عدد\ الخيارات$.

3. تحديد الموقع الثالث:

   • بعد اختيار الرقم الثاني، لدينا 3 أرقام متبقية للاختيار من بينها للموقع الثالث.
   • قانون الضرب: $عدد\ الطرق = عدد\ الخيارات$.

4. تحديد الموقع الرابع:

   • بعد اختيار الرقم الثالث، لدينا 4 أرقام متبقية للاختيار من بينها للموقع الرابع.
   • قانون الضرب: $عدد\ الطرق = عدد\ الخيارات$.

5. تحديد الموقع الخامس:

   • بعد اختيار الرقم الرابع، لدينا رقم واحد للاختيار للموقع الخامس.
   • قانون الضرب: $عدد\ الطرق = عدد\ الخيارات$.

الآن، نقوم بضرب عدد الطرق في كل مرحلة باستخدام قانون الضرب الإجمالي:

$عدد\ الأرقام\ = 5 \times 4 \times 3 \times 4 \times 1 = 240$

وهذا يشير إلى أن هناك 240 طريقة مختلفة لتكوين عدد صحيح مكون من 5 أرقام مختلفة، وحيث أن الرقمين 3 و 4 لا يمكن أن يكونا جنبًا إلى جنب.