حل مسألة تكديس الكرات: قاعدة الجمع اللامتكراري (مسألة رياضيات)

عندما يقوم روبن بشراء مثلجات تتألف من أربع كرات بنكهات الفانيليا والشوكولاتة والفراولة والكرز، كم هو عدد الترتيبات المختلفة التي يمكن تكديس الكرات فيها فوق بعضها البعض؟

حينما نتعامل مع هذا النوع من المسائل، نستخدم مبدأ الجمع اللامتكراري، حيث إن ترتيب الكرات المختلفة يعتبر ترتيبًا فريدًا. لنحسب عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الكرات:

إذاً، للكرة الأولى يمكن اختيار أي من أربع النكهات المتاحة، وللكرة الثانية يمكن اختيار أي من الثلاث المتبقية، وهكذا. لنحسب العدد الإجمالي للترتيبات:

4 × 3 × 2 × 1 = 24

لذا، هناك 24 طريقة مختلفة يمكن بها تكديس الكرات على بعضها البعض.

بالطبع، سنقوم بتوضيح أكثر وسنستخدم القوانين المستخدمة في حل هذه المسألة.

في هذه المسألة، نستخدم قاعدة الجمع اللامتكراري، حيث يمكننا اختيار الكرات بدون تكرار لضمان التنوع في الترتيب. القاعدة تنص على أن عدد الطرق لاختيار r عنصرًا من مجموعة تحتوي على n عنصر يُعطى بالصيغة:

$nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$

حيث n هو إجمالي عدد العناصر في المجموعة، r هو عدد العناصر التي نريد اختيارها، و $!$ تمثل عامل الضرب، حيث $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$.

الآن، لنقوم بحساب عدد الطرق التي يمكن بها تكديس الكرات. في هذه الحالة:

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

هذا يعني أن هناك 24 ترتيبًا مختلفًا يمكن بها تكديس الكرات على بعضها البعض.