يتم اختيار أضلاع قطرية لمضلع متسدس الشكل (متعدد الأضلاع بسبعة أضلاع). ما هي الاحتمالية التي تتقاطع فيها هذه الأضلاع داخل المضلع؟ سنحل المسألة كالتالي:
لنفترض أن عدد الأضلاع التي تم اختيارها هو . عند اختيار أضلاع قطرية، فإن كل زوج من الأضلاع المختارة يمكن أن يشكل قطرًا يقسم المضلع إلى قسمين. لكن بالنسبة لمضلع متعدد الأضلاع، لا يتم قطع الشكل بصفة دائمة من خلال كل قطر.
نحن بحاجة إلى معرفة عدد الطرق التي يمكن أن تتقاطع فيها الأضلاع داخل المضلع. للوصول إلى ذلك، يمكننا استخدام مبدأ “كل اجتماع ينتج عنه مقطع واحد فقط”. لذلك، يمكننا استخدام القاعدة التالية:
عدد الأضلاع التي تتقاطع داخل المضلع = عدد الأضلاع المختارة – عدد القطوع التي لا تتقاطع
حيث أن عدد الأضلاع المختارة هو .
القاعدة الأولى: عدد الأضلاع المختارة هو وعدد القطوع الممكنة هو ، أي عدد الطرق التي يمكننا اختيار زوج من الأضلاع من بين أضلاع.
القاعدة الثانية: عدد الطرق التي لا تتقاطع فيها الأضلاع هو عدد الطرق التي يمكن أن تختار زوجًا من الأضلاع دون أن تتقاطع. هذا يعادل عدد الطرق التي يمكن أن تكون الأضلاع متجاورة، أي .
إذاً، عدد الأضلاع التي تتقاطع داخل المضلع يمكن حسابه كالتالي:
عدد الأضلاع التي تتقاطع داخل المضلع =
ومن البيانات في المسألة، نعلم أن هذه القيمة تساوي 13. لذا، لدينا المعادلة التالية:
الآن، سنقوم بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . سنقوم بتوسيع الجزء الثاني من المعادلة:
الآن، نستخدم العمليات الجبرية لحل المعادلة من خلال الجذر التربيعي:
حيث أن ، ، و .
الآن، يكون لدينا جذر سالب، وهذا يعني أنه لا توجد أعداد حقيقية تحقق المعادلة. لذا، الحل للمعادلة غير موجود في الأعداد الحقيقية.
بالتالي، لا يوجد حل حقيقي للمسألة مع القيم المعطاة، ولكن يمكننا تفسير أنه لا يمكن اختيار عدد معين من القطوع القطرية بحيث تتقاطع داخل المضلع السباعي وفقًا للشروط المعطاة في المسألة.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، سنعتمد على عدة مفاهيم وقوانين في الهندسة الرياضية، بما في ذلك مفهوم الأضلاع والقطوع والتقاطع بينها في مضلع متسدس الشكل (مضلع بسبعة أضلاع).
القوانين المستخدمة:
-
عدد الطرق لاختيار الأضلاع القطرية: يمكننا اختيار أي زوج من الأضلاع القطرية من المضلع السباعي. يتم اختيار الأضلاع بشكل فردي، ولكل زوج من الأضلاع القطرية يتكون قطر يمكن أن يتقاطع مع آخر.
-
عدم التقاطع بين القطوع القطرية: إذا كانت الأضلاع تمثل القطوع القطرية في المضلع، فإنها لا يمكن أن تتقاطع داخل المضلع إذا كانت متوازية لبعضها البعض.
-
مبدأ الاحتمالية: الاحتمالية هي نسبة عدد الحالات المرغوب فيها إلى عدد الحالات الإجمالي.
الآن، سنبدأ بتفاصيل الحل:
لنفترض أن عدد الأضلاع القطرية التي تم اختيارها هو . يمكننا استخدام القوانين المذكورة أعلاه لحساب عدد الأضلاع التي تتقاطع داخل المضلع.
بموجب القانون الأول، عدد الطرق لاختيار الأضلاع القطرية هو ، أي عدد الطرق التي يمكننا اختيار زوج من الأضلاع من بين أضلاع.
وفقًا للقانون الثاني، يتم اختيار الأضلاع بشكل فردي، لكننا لا نريدها أن تتقاطع. لذلك، يمكننا تحديد عدد الطرق التي لا تتقاطع فيها الأضلاع بواسطة ، أي عدد الأضلاع التي يمكن أن تكون متجاورة.
الآن، بما أن الاحتمالية معطاة كـ ، فإننا نعرف أن:
هذا بسبب أن عدد الأضلاع التي تتقاطع داخل المضلع هو ونحن نعرف أنه يساوي 13.
بعد حل المعادلة، يمكن الحصول على قيمة التي تمثل عدد الأضلاع القطرية التي تم اختيارها.
بعد ذلك، يتعين علينا التحقق من صحة الحل بمعرفة ما إذا كان هذا العدد من الأضلاع يمكنه أن يكون حلاً حقيقيًا أو لا، وهو ما يتطلب فحص القيمة الحقيقية للتعبير تحت الجذر في المعادلة الخطية.
إذا كان الجذر الذي تحت الجذر سالبًا، فهذا يعني أنه لا يوجد حل حقيقي للمعادلة وبالتالي لا يوجد عدد من الأضلاع يمكن اختيارها بحيث تتقاطع داخل المضلع السباعي وفقًا للشروط المعطاة في المسألة.