حل مسألة تغطية التقاطعات بالشرطة (مسألة رياضيات)

يوجد في مدينة الرياضيات ثمانية شوارع مستقيمة، ولا تكون أي شارع متوازياً مع آخر. يتم وضع ضابط شرطة واحد في كل تقاطع. ما هو أكبر عدد من ضباط الشرطة الذي يلزم؟

لحل هذه المسألة، يجب أن نفكر في كيفية تحديد الأماكن التي يحتاج فيها وضع ضابط شرطة لتغطية كل التقاطعات بطريقة فعالة. نلاحظ أن كل تقاطع يتشكل من تقاطع شارعين فقط.

لتغطية أقصى عدد من التقاطعات، نحتاج إلى وضع ضابط شرطة في كل تقاطع. وبما أن كل تقاطع يتشكل من تقاطع شارعين، فإن عدد التقاطعات سيكون مساويًا لعدد الأزواج من الشوارع الموجودة.

عدد الشوارع = 8

عدد الأزواج من الشوارع = 8C2 = 8 × (8 – 1) / 2 = 28

لذا، يلزم وضع أكبر عدد من ضباط الشرطة يساوي عدد الأزواج من الشوارع، أي 28 ضابط شرطة لتغطية جميع التقاطعات بالمدينة.

لحل المسألة وتحديد أكبر عدد من ضباط الشرطة الذين يحتاجونها لتغطية كل تقاطع في المدينة، يمكننا استخدام مفهوم العدد الكبير. هناك بعض القوانين والمفاهيم الرياضية التي يمكننا الاعتماد عليها:

1. قانون تكوين الأزواج: عندما يكون لدينا مجموعة من العناصر، يمكننا حساب عدد الطرق لتكوين أزواج من هذه العناصر باستخدام الصيغة: $nC2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$، حيث $n$ هو عدد العناصر في المجموعة.

2. مبدأ التغطية: في هذه المسألة، نريد ضمان تواجد ضابط شرطة في كل تقاطع. يمكننا تحقيق هذا عن طريق وضع ضابط شرطة في كل تقاطع حيث يلتقي شارعين.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حساب العدد الكبير للتقاطعات والضباط اللازمين بالطريقة التالية:

1. لدينا 8 شوارع.
2. نحسب عدد الأزواج من الشوارع باستخدام قانون تكوين الأزواج:
   $8C2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
3. يعني وجود 28 تقاطعًا حيث يحتاج كل تقاطع إلى ضابط شرطة.
4. لذا، يحتاج المدينة إلى 28 ضابط شرطة على الأقل لضمان تواجد ضابط في كل تقاطع.

بهذا الشكل، نستطيع توضيح المفاهيم الرياضية والتفاصيل اللازمة لحل المسألة بشكل دقيق وشافٍ.