حل مسألة: تسلسل هندسي والعناصر المجهولة (مسألة رياضيات)

التسلسل الهندسي هو تسلسل من الأعداد الحقيقية حيث تتباين الأعداد بنسبة ثابتة متعلقة بالعنصر السابق. لنحل المسألة، نستخدم الصيغة العامة للعنصر العام في تسلسل هندسي:

$a_n = a_1 \times r^{n-1}$

حيث:

• $a_n$ هو العنصر العام في الموضع $n$ في التسلسل.
• $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $r$ هو النسبة الثابتة للتسلسل.

مع الوصف الذي قدمته في المسألة، يمكننا إعادة صياغتها في سياق الرياضيات. لنفترض أن العناصر في التسلسل مرتبة بالترتيب: $a_1, a_2, a_3, \ldots$

وفقاً للمعطيات، نعرف أن العنصر الخامس يساوي $7!$ والعنصر الثامن يساوي $8!$. ولكونهما أعضاء في التسلسل، يمكننا استخدام الصيغة العامة للعنصر العام كما ذكرت سابقاً.

لذا، لدينا:
$a_5 = a_1 \times r^4 = 7!$
$a_8 = a_1 \times r^7 = 8!$

الآن، نحن بحاجة إلى حل هذين المعادلتين للعثور على قيمة $a_1$ و $r$.

للقيام بذلك، يمكننا قسمة المعادلتين:

$\frac{a_8}{a_5} = \frac{a_1 \times r^7}{a_1 \times r^4} = \frac{8!}{7!}$

$\Rightarrow \frac{r^7}{r^4} = \frac{8!}{7!}$
$\Rightarrow r^3 = 8$
$\Rightarrow r = 2$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة $r$، يمكننا استخدام أي من المعادلات الأصلية لحساب قيمة $a_1$. لنستخدم $a_5$، لأنها أبسط:

$a_1 \times 2^4 = 7!$
$a_1 \times 16 = 7!$
$a_1 = \frac{7!}{16}$

يمكن حساب $7!$ بواسطة العوامل التالية:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$a_1 = \frac{5040}{16} = 315$

إذاً، قيمة العنصر الأول في التسلسل هي 315.

لحل المسألة، استخدمنا القوانين والمفاهيم التالية:

1. تسلسل هندسي: في تسلسل هندسي، يتم تحديد كل عنصر في التسلسل بواسطة ضرب العنصر السابق في نسبة ثابتة معينة.
   الصيغة العامة للعنصر العام في تسلسل هندسي هي: $a_n = a_1 \times r^{n-1}$
   حيث:

   • $a_n$ هو العنصر العام في الموضع $n$ في التسلسل.
   • $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل.
   • $r$ هو النسبة الثابتة للتسلسل.

2. معرفة قيمة العناصر: استخدمنا المعلومات المعطاة في المسألة لتحديد قيمة بعض العناصر في التسلسل.

3. حساب القوة العددية: للعثور على القيمة الصحيحة للنسبة $r$، قسمنا العناصر المعطاة في المسألة.

4. حل معادلات: قمنا بحل معادلات للعثور على قيمة العناصر المطلوبة في التسلسل.

استخدمنا هذه القوانين لحساب القيمة الأولية للعنصر في التسلسل الهندسي الذي تم تحديده في المسألة والتي تبين أنها تسلسل هندسي. باستخدام هذه القوانين، تمكنا من حساب قيمة العنصر الأول في التسلسل وهي 315.