حل مسألة: تسلسل هندسي بثلاثة أعضاء (مسألة رياضيات)

العدد الموجب $a$ يتم اختياره بحيث تكون الأعداد $20، a، \frac{5}{4}$ الأولى، الثانية، والثالثة على التوالي في تسلسل هندسي. ما هو قيمة $a$؟

لنكتب العلاقة العامة لتسلسل هندسي: $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

حيث أن:

• $a_n$ هو العنصر العام في الموقع $n$.
• $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $r$ هو معامل النسبة.

نعلم أن الأعداد $20، a، \frac{5}{4}$ تشكل تسلسلًا هندسيًا. لذا يمكننا كتابة المعادلات التالية:

1. $a = 20 \times r^{(2-1)} = 20r$
2. $\frac{5}{4} = 20 \times r^{(3-1)} = 20r^2$

نحل المعادلة الثانية للحصول على قيمة $r$:
$20r^2 = \frac{5}{4}$
$r^2 = \frac{5}{4} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{16}$
$r = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

الآن، بعد أن وجدنا قيمة $r$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $a$ من المعادلة الأولى:
$a = 20r = 20 \times \frac{1}{4} = 5$

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $a$ هي 5.

في حل هذه المسألة، نستخدم مفهوم التسلسل الهندسي والعلاقات الرياضية المتعلقة به. هنا هي الخطوات الأكثر تفصيلاً:

1. المعرفة الأولية: نعرف أن الأعداد $20، a، \frac{5}{4}$ هي جزء من تسلسل هندسي.

2. تحديد القوانين المستخدمة:

   • في تسلسل هندسي، يكون كل عنصر يساوي العنصر السابق مضروباً في نسبة ثابتة. أي أنه إذا كان العنصر الأول $a_1$، والنسبة الثابتة $r$، فإن العناصر اللاحقة يمكن تمثيلها بالعلاقة $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$.

3. التطبيق على المسألة:

   • لدينا العناصر التالية في التسلسل: $a_1 = 20$، و $a_2 = a$، و $a_3 = \frac{5}{4}$.
   • نحن بحاجة إلى إيجاد النسبة الثابتة $r$ وقيمة $a$.

4. إيجاد النسبة الثابتة $r$:

   • نستخدم عنصري التسلسل $a_1$ و $a_2$ للحصول على المعادلة $a = 20r$.
   • نستخدم عنصري التسلسل $a_1$ و $a_3$ للحصول على المعادلة $\frac{5}{4} = 20r^2$.

5. حل المعادلات:

   • نحل المعادلة الثانية للحصول على قيمة $r$.
   • نستخدم قيمة $r$ لحساب قيمة $a$.

6. الحل النهائي:

   • بعد حساب قيمة $r$ وجدنا أنها $\frac{1}{4}$.
   • نستخدم هذه القيمة لحساب $a$، حيث $a = 20 \times \frac{1}{4} = 5$.

بهذا الشكل، نحصل على قيمة $a$ التي تمثل العنصر الثاني في التسلسل الهندسي، وهي 5.