التسلسل الذي يعتبر من متتاليات لوكاس هو التسلسل 1، X، 4، 7، 11، $\ldots$ حيث العنصر الأول هو 1، والعنصر الثاني هو 3، وكل عنصر بعد ذلك هو مجموع العنصرين السابقين. الباقي عند قسمة العنصر رقم 100 في التسلسل على 8 هو 7. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟
الحلا:
لنحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية حساب أي عنصر في تسلسل لوكاس. العنصر الثالث، على سبيل المثال، يكون مجرد جمع العنصرين السابقين، أي 1 + X. العنصر الرابع يكون مجرد جمع العنصرين السابقين، أي X + 4. وهكذا نستمر في حساب العناصر.
لنعبر عن التسلسل بشكل عام، نفترض أن العناصر هي L1، L2، L3، … حيث L1 = 1، L2 = X، وبالنسبة لجميع n > 2، يكون Ln = Ln-1 + Ln-2.
نعلم من السؤال أن باقي قسمة العنصر رقم 100 في التسلسل على 8 هو 7. بمعنى آخر، L100 mod 8 = 7.
الآن، لنقم بحساب القيمة الممكنة لـ X. نقوم بحساب التسلسل حتى العنصر رقم 100 بشكل تدريجي. يمكننا استخدام القاعدة التي حددناها سابقًا (Ln = Ln-1 + Ln-2) لحساب العناصر بشكل متسلسل.
بمجرد أن نصل إلى L100، نحسب باقي قسمته على 8 ونتحقق مما إذا كان يساوي 7.
بعد إجراء هذه العمليات، يمكننا الوصول إلى القيمة الصحيحة للمتغير X والتي تحقق الشرط المعطى في المسألة.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم تسلسل لوكاس والقوانين التي تحكمه. التسلسل لوكاس يتبع قاعدة بسيطة حيث يبدأ بعنصرين أوليين، وكل عنصر بعد ذلك هو مجرد جمع للعنصرين السابقين.
فلنقم بتحديد قيمة العنصر الـ 100 في التسلسل. لنفترض أن العناصر تمثلها L1، L2، L3، … حيث L1 = 1 و L2 = X، وبالنسبة لجميع n > 2، يكون Ln = Ln-1 + Ln-2.
نحتاج إلى حساب العناصر حتى نصل إلى L100. لفهم كيف نقوم بذلك، يمكننا استخدام القوانين التالية:
-
قاعدة الحساب لتسلسل لوكاس: Ln = Ln-1 + Ln-2.
-
باقي قسمة عند القسمة على 8: نريد أن نتحقق من الباقي عند قسم العنصر على 8 يكون 7، أي Ln mod 8 = 7.
لحساب قيمة X، يمكننا البدء بحساب العناصر بشكل تسلسلي حتى نصل إلى L100. ثم نتحقق من باقي قسمته على 8 للتأكد من أنه يساوي 7.
الآن، لنلخص الخطوات:
- حساب العناصر حتى L100 باستخدام قاعدة الحساب لتسلسل لوكاس (Ln = Ln-1 + Ln-2).
- بمجرد الوصول إلى L100، قسمه على 8 وتحقق من أن الباقي يساوي 7.
تلك هي الخطوات التي نستخدمها للتحقق من القيمة الممكنة للمتغير X وفقًا لشرط المسألة.