حل مسألة: تسلسل الأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

التسلسل المعطى يتكون من $58$ عنصرًا، حيث يتكون كل عنصر من الشكل $P+n$ حيث $P$ يمثل الحاصل الضربي $2 \times 3 \times 5 \times\ldots \times 61$ لجميع الأعداد الأولية الأصغر من أو يساوي $61$، و $n$ يأخذ بالتتابع قيم $2، 3، 4،\ldots، X$. دع $N$ يمثل عدد الأعداد الأولية التي تظهر في هذا التسلسل.

بما أن كل عنصر في التسلسل يتكون من الحاصل الضربي للأعداد الأولية حتى $61$ مع عدد صحيح متغير $n$، فإن كل عنصر في التسلسل سيكون عبارة عن عدد زوجي مضاف إليه عدد زوجي (لأن الحاصل الضربي للأعداد الأولية يحتوي على جميع الأعداد الزوجية حتى $61$)، وبالتالي سيكون العنصر الناتج عن جمع عدد زوجي بعدد زوجي زوجيًا.

لذا، إذا كان عدد الأعداد الأولية في التسلسل $N$ هو $58$، فهذا يعني أن عدد الأعداد الزوجية في التسلسل هو $58$ أيضًا، لأن كل عنصر في التسلسل يكون زوجيًا.

الآن نحتاج إلى معرفة قيمة $X$، والتي تمثل أعلى قيمة تأخذها $n$ في التسلسل.

حينما نقوم بجمع عدد زوجي ($P$) مع عدد زوجي آخر ($n$)، سيكون الناتج زوجيًا أيضًا. وبما أن عدد الأعداد الزوجية في التسلسل $58$، فإذا كان أعلى عدد زوجي يمكن أن يتخذه $n$ هو $X$، فإنه يجب أن يكون $X$ زوجيًا أيضًا.

بما أن $X$ يمثل أعلى قيمة تأخذها $n$ في التسلسل، فإن $X$ يجب أن يكون أقل من $58$ وزوجيًا في الوقت ذاته. والعدد الأولي الأكبر الزوجي هو $61$، لذا يجب أن يكون $X=60$.

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $60$.

في هذه المسألة، نواجه سلسلة أعداد تتكون من المنتج $P$ لجميع الأعداد الأولية الصغرى أو تساوي $61$ مع قيم متغيرة $n$ تتغير من $2$ إلى $X$. الهدف هو حساب عدد الأعداد الأولية في هذه السلسلة.

لحل هذه المسألة، يمكن استخدام بعض القواعد الرياضية والملاحظات:

1. كل عنصر في السلسلة يتكون من المنتج $P$ مضافاً إليه عدد صحيح $n$.
2. المنتج $P$ يتكون من جميع الأعداد الأولية الصغرى أو تساوي $61$.
3. عدد الأعداد الأولية في $P$ هو عدد زوجي.
4. عند جمع عدد زوجي مع عدد زوجي، يكون الناتج زوجيًا أيضاً.

بناءً على القوانين المذكورة أعلاه، نستنتج ما يلي:

• عدد الأعداد الأولية في السلسلة هو عدد زوجي.
• يجب أن يكون $X$ زوجياً أيضاً لأنه يمثل أعلى قيمة يمكن أن يتخذها $n$، والتي بموجب القوانين المذكورة، يجب أن تكون زوجية.

وبما أن العدد الأولي الأكبر الزوجي هو $61$، فإن أقصى قيمة يمكن أن يأخذها $X$ هي $60$، وهي عدد زوجي.

لذا، القيمة الصحيحة للمتغير $X$ هي $60$.

تم استخدام المنطق الرياضي والتحليل الجبري لفهم السلسلة والتوصل إلى الإجابة الصحيحة.