حل مسألة: تسريب الماء من الخزان (مسألة رياضيات)

يبدأ هايدن بخزان يحتوي على 40 جالون من الماء. يفقد الخزان x جالون من الماء في الساعة. لا يضيف هايدن أي ماء للخزان خلال الساعتين الأوليين. يضيف 1 جالون من الماء إلى الخزان في الساعة الثالثة. يضيف 3 أجزاء من الماء إلى الخزان في الساعة الرابعة. يتبقى 36 جالونًا من الماء في الخزان في نهاية الساعة الرابعة. ما قيمة المتغير المجهول x؟

لنقم بحل المسألة:

في الساعة الأولى والثانية، يفقد الخزان x جالون من الماء في كل ساعة، لذا يفقد الخزان إجمالاً 2x جالون من الماء في هاتين الساعتين.

بعد ذلك، في الساعة الثالثة، يضيف هايدن 1 جالون من الماء، لذا بعد الساعة الثالثة يكون الماء المتبقي في الخزان هو:
$40 – (2x) + 1 = 41 – 2x \text{ gallons}$

في الساعة الرابعة، يضيف هايدن 3 جالونات إضافية، لذا بعد الساعة الرابعة يكون الماء المتبقي في الخزان هو:
$41 – 2x + 3 = 44 – 2x \text{ gallons}$

ووفقًا لشرط المسألة، يجب أن يكون الماء المتبقي في الخزان في نهاية الساعة الرابعة هو 36 جالونًا، لذا نضع المعادلة:

$44 – 2x = 36$

نقوم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة x:

إذًا، قيمة المتغير المجهول $x$ هي 4 جالونات في الساعة.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام قانون الأبسطة وتطبيق مفهوم الحفظ لكميات الماء في الخزان مع مرور الوقت.

1. قانون الأبسطة: يقول أن مجموع الكميات التي دخلت إلى الخزان يجب أن يساوي مجموع الكميات التي خرجت منه مع إضافة الكميات التي دخلت.

2. مفهوم الحفظ لكميات الماء: يفيد أن الكمية المتبقية من الماء في الخزان في نهاية المدة تكون مجموع الكميات الأولية مضافًا إليها الكميات التي دخلت ومن ثم طرح الكميات التي خرجت.

الآن، دعونا نقوم بتحليل المسألة بالتفصيل:

1. الخزان يفقد $x$ جالون من الماء في الساعة.

2. خلال الساعتين الأوليين، يكون الماء المتبقي $40 – 2x$ جالون.

3. في الساعة الثالثة، يتم إضافة جالون واحد للماء، لذا الماء المتبقي يصبح $40 – 2x + 1$ جالون.

4. في الساعة الرابعة، يتم إضافة 3 جالونات للماء، لذا الماء المتبقي يصبح $40 – 2x + 1 + 3$ جالون.

5. وفقًا للشرط في المسألة، الماء المتبقي في نهاية الساعة الرابعة يساوي 36 جالونًا.

بناءً على الأعلى، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$40 – 2x + 1 + 3 = 36$

الآن، نقوم بحل هذه المعادلة:

$40 – 2x + 4 = 36$

$44 – 2x = 36$

ثم نقوم بطرح 44 من الجانبين:

$– 2x = 36 – 44$

$– 2x = -8$

ثم نقسم كلا الجانبين على -2:

$x = \frac{-8}{-2}$

$x = 4$

لذا، قيمة المتغير المجهول $x$ هي 4 جالونات في الساعة.