حل مسألة: تساويات وجذور رياضية (مسألة رياضيات)

لنقوم بإعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

إذا كان $g(x) = \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$، فما هي قيمة $x$ التي تجعل $g(2x) = 2(g(x))$؟

الحل:

نبدأ بتعريف $g(2x)$ و $2(g(x))$:

$g(2x) = \sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}$

$2(g(x)) = 2 \times \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$

الآن، نضع $g(2x)$ مساويًا لـ $2(g(x))$ ونقوم بحساب القيمة المناسبة لـ $x$ :

$\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}} = 2 \times \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$

نربع الطرفين للتخلص من الجذور:

$\left( \sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}} \right)^3 = \left( 2 \times \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}} \right)^3$

$\frac{2x+3}{4} = 8 \times \frac{x+3}{4}$

نقوم بحل المعادلة:

$2x + 3 = 8x + 24$

ننقل جميع المصطلحات التي تحتوي على $x$ إلى جهة واحدة:

$3 – 24 = 8x – 2x$

$-21 = 6x$

ثم نقسم الطرفين على 6 للحصول على قيمة $x$:

$x = -\frac{21}{6} = -\frac{7}{2}$

لذا، القيمة التي تجعل $g(2x) = 2(g(x))$ هي $x = -\frac{7}{2}$.

لحل المسألة المعطاة، نبدأ بوضع المعادلة التي تمثل الشرط المطلوب وهو $g(2x) = 2(g(x))$. بما أن $g(x) = \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$، يمكننا استخدام هذا التعريف لتحديد $g(2x)$ و$2(g(x))$ ومن ثم مقارنتهما.

لحساب $g(2x)$، نستبدل $x$ بـ$2x$ في التعريف لـ$g(x)$:
$g(2x) = \sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}$

ثم، لحساب $2(g(x))$، نضرب تعريف $g(x)$ بمعامل $2$:
$2(g(x)) = 2 \times \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$

الآن، نقوم بوضع المعادلتين متساويتين:
$\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}} = 2 \times \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$

لحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية تكافؤ الأسس في الجذور الثلاثية وخاصية الضرب في حالة المعادلات:
$\left(\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}\right)^3 = \left(2 \times \sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}\right)^3$
$\frac{2x+3}{4} = 8 \times \frac{x+3}{4}$

ثم نقوم بحساب الحلول كالتالي:

$2x + 3 = 8x + 24$
$3 – 24 = 8x – 2x$
$-21 = 6x$
$x = -\frac{21}{6} = -\frac{7}{2}$

باستخدام خاصية تساوي القيم في المعادلات، نجد أن $x = -\frac{7}{2}$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. خاصية تكافؤ الأسس في الجذور الثلاثية.
2. خاصية الضرب في المعادلات.
3. قوانين حسابية بسيطة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

هذه القوانين الحسابية تعتبر أساسية في الجبر والتحليل الرياضي، وهي مفتاح لفهم وحل معظم المسائل الرياضية.