حل مسألة: تحديد قيمة n في دالة مستمرة (مسألة رياضيات)

إذا كانت الدالة $y = f(x)$ مستمرة، فما هو مجموع جميع القيم الممكنة للمتغير $n$ في الدالة التي تُعبِّر عنها المعادلة

حل المسألة:
لنبدأ بفحص استمرارية الدالة. الدالة متصلة عند $x = n$ إذا كانت القيم المتناقضة عند $x$ تتقابل عند $x = n$. بمعنى آخر، يجب أن تكون قيمة الدالة عند $x = n$ هي نفسها من الحد اليمين ($f(n^+)$) والحد الأيسر ($f(n^-)$).

لحساب الحد اليمين، نستخدم القاعدة الثانية للدالة:
$f(x) = 2x + 5 \quad \text{إذا كان } x \geq n.$
لذلك:
$f(n^+) = 2n + 5.$

والآن نحسب الحد الأيسر باستخدام القاعدة الأولى للدالة:
$f(x) = x^2 + 2 \quad \text{إذا كان } x < n.$
لذلك:
$f(n^-) = n^2 + 2.$

الآن، يجب أن تكون $f(n^+) = f(n^-)$ لضمان استمرارية الدالة عند $x = n$. لذا، نقوم بحل المعادلة:
$2n + 5 = n^2 + 2.$

نقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى صيغة القيمة المربعة الكاملة:
$n^2 – 2n – 3 = 0.$

نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذور في المعادلة التربيعية:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.$

حيث أن $a = 1$، $b = -2$، و $c = -3$. نعوض في القاعدة:
$n = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-3)}}{2(1)}.$

نبسط التعبير:
$n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}.$

الآن، نستمر في حساب القيم:
$n = \frac{2 \pm 4}{2}.$

هنا يوجد اثنتان من الحلول الممكنة:
$n_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
و
$n_2 = \frac{2 – 4}{2} = -1.$

إذاً، القيم الممكنة للمتغير $n$ هي $3$ و $-1$. وبما أن السؤال يطلب مجموع القيم الممكنة، فإن الإجابة هي:
$n_1 + n_2 = 3 + (-1) = 2.$

بالطبع، دعونا نفصل عناصر الحل ونستعرض القوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بدالة مكونة من جزئين:

لحساب القيم الممكنة لـ $n$، بدأنا بفحص استمرارية الدالة عند $x = n$. القاعدة المستخدمة هي أن الدالة مستمرة عند $x = n$ إذا كانت قيمة الدالة عند $x = n$ هي نفسها عند الحد اليمين ($f(n^+)$) والحد الأيسر ($f(n^-)$).

1. حساب الحد اليمين ($f(n^+)$):
   $f(x) = 2x + 5 \quad \text{إذا كان } x \geq n.$
   $f(n^+) = 2n + 5.$

2. حساب الحد الأيسر ($f(n^-)$):
   $f(x) = x^2 + 2 \quad \text{إذا كان } x < n.$
   $f(n^-) = n^2 + 2.$

3. حل المعادلة للعثور على قيم ممكنة لـ $n$:
   $f(n^+) = f(n^-).$
   $2n + 5 = n^2 + 2.$

4. حساب الجذور باستخدام القاعدة العامة للمعادلة التربيعية:
   $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.$
   حيث $a = 1$، $b = -2$، و $c = -3$.

5. حساب القيم الممكنة لـ $n$:
   $n = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}.$
   $n_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
   $n_2 = \frac{2 – 4}{2} = -1.$

6. الإجابة النهائية:
   $n_1 + n_2 = 3 + (-1) = 2.$

القوانين المستخدمة هي قوانين الحدود والقوانين الأساسية للدوال. أيضًا، تم استخدام قاعدة حساب الجذور لحل المعادلة التربيعية. يجب أن نراعي دائمًا استمرارية الدوال وتساوي القيم لضمان صحة الحل.