حل مسألة: تحديد الزاوية باستخدام الدوال المثلثية (مسألة رياضيات)

البحث عن العدد الصحيح $n$، حيث $-90 < n < 90$، بحيث $\tan n^\circ = \tan 312^\circ.$

الحل:
نعلم أن الدوال المثلثية تتكرر كل $360^\circ$، لذلك يمكننا كتابة $\tan 312^\circ$ بشكل مكافئ كالتالي:

$\tan 312^\circ = \tan (360^\circ – 48^\circ).$

وبما أن $\tan (360^\circ – \theta) = -\tan \theta$، يمكننا إعادة صياغة المعادلة كالتالي:

$\tan 312^\circ = -\tan 48^\circ.$

الآن، نبحث عن الحل في الفترة $-90 < n < 90$، لأنها تشمل دورة واحدة كاملة للتمثيل الزاوي. يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$\tan n^\circ = -\tan 48^\circ.$

نعلم أن $\tan (-\theta) = -\tan \theta$، لذلك يمكننا تبسيط المعادلة إلى:

$\tan n^\circ = \tan (-48^\circ).$

ونعلم أيضاً أن الحلول لهذه المعادلة تأتي على شكل $n = -48 + 180k$، حيث $k$ عدد صحيح. وبما أننا نريد قيمًا في الفترة $-90 < n < 90$، فإن القيمة الوحيدة المطلوبة هي $n = -48 + 180 \times 1 = 132$.

إذا كانت الإجابة هي $n = 132.$

بالتأكيد، سأقدم تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بتحديد الزاوية $n$ حيث $\tan n^\circ = \tan 312^\circ.$

لفهم الحل، يمكننا البدء بفحص دورة الدوال المثلثية. نعلم أن الدوال المثلثية تكرر نفسها كل $360^\circ$، لذا إذا كانت $\tan 312^\circ$ تساوي $\tan (312^\circ – 360^\circ) = \tan (-48^\circ)$، فإن الحل سيكون ذا صلة بزاوية $-48^\circ.$

القانون الأساسي المستخدم هو:
$\tan (360^\circ – \theta) = -\tan \theta.$

وهذا يتيح لنا تحويل المعادلة إلى:
$\tan 312^\circ = -\tan 48^\circ.$

ثم، باستخدام القاعدة $\tan (-\theta) = -\tan \theta$، نقلل المعادلة إلى:
$\tan n^\circ = \tan (-48^\circ).$

ونعلم أن الزوايا ذات الظروف المماثلة تختلف بمضاعفات $180^\circ$، لذا:
$n = -48^\circ + 180^\circ k,$
حيث $k$ هو عدد صحيح.

لكننا نبحث عن حل في الفترة $-90 < n < 90$، لذا القيمة الوحيدة المناسبة هي: $n = -48^\circ + 180^\circ \times 1 = 132^\circ.$

في هذا الحل، استخدمنا القوانين التالية:

1. $\tan (360^\circ – \theta) = -\tan \theta$
2. $\tan (-\theta) = -\tan \theta$
3. زاويا ذات ظروف مماثلة تختلف بمضاعفات $180^\circ$.

تلك هي الخطوات التفصيلية لحل المسألة باستخدام هذه القوانين.