حل مسألة: تابعية خطية لمجموعة فيكتورات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لأي قيمة تكون مجموعة الفيكتورات { (1, 2), (3, k) } تابعة خطياً؟

الحل:
لنفحص إذا كانت المجموعة من الفيكتورات تابعة خطياً أم لا، نقوم بتحليل مصفوفة المعاملين الخاصة بها.
لدينا المعادلة التالية للتعبير عن تابعية خطية:

c1 * (1, 2) + c2 * (3, k) = (0, 0)

حيث c1 و c2 هما معاملات لا نعرف قيمتها بعد. و(0, 0) هو الفيكتور الصفر.
قمنا بتحليل المعادلة للحصول على النظام التالي:

c1 + 3c2 = 0
2c1 + kc2 = 0

للحصول على الحلول الممكنة لهذا النظام، يجب أن نجد قيمة المتغيرات c1 و c2.
قد نجد الحل للمعادلات بالطرق المختلفة، ولكن يمكن استخدام طريقة القضاء على المتغير الأول للوصول للمتغير الثاني:

من المعادلة الأولى: c1 = -3c2

نستبدل قيمة c1 في المعادلة الثانية:

2(-3c2) + k * c2 = 0

-6c2 + kc2 = 0

عندما نقوم بتجميع المصطلحات ذات متغير مشترك (c2)، نحصل على:

(c2) * (-6 + k) = 0

لتكون المجموعة تابعة خطياً، يجب أن يكون المتغير (c2) غير صفري أو أن تكون (k) تساوي 6.
إذاً، لنجعل المجموعة { (1, 2), (3, k) } تكون تابعة خطياً، يجب أن تكون إما قيمة (k) تساوي 6 أو أنها تتبع عدم الانتظام بقيمة (k) تتبع علاقة معينة تجعل النظام يكون متغير.

في هذه المسألة، نحن نبحث عن القيم التي تجعل مجموعة الفيكتورات { (1, 2), (3, k) } تابعة خطياً. تكون المجموعة تابعة خطياً إذا كان بإمكاننا العثور على معاملات (c1 و c2) ليست بالضرورة متساوية لتكون الجملة الخطية تساوي الصفر.

نستخدم قوانين الجبر الخطي في هذا الحل:

1. تابعية خطية (Linear Dependence):
   تعني أن يمكننا العثور على مجموعة من المعاملات غير الصفرية (c1 و c2) بحيث يمكننا جعل المعادلة الخطية تساوي الصفر.

2. معادلة الأمثلة (System of Equations):
   نستخدم معادلات الفيكتورات لإيجاد المعاملات المطلوبة لتحقيق تابعية خطية.

نبدأ بوضع المعادلات الخطية للفيكتورات والتي تعبر عن تابعيتها:

معادلة 1: $c1 \times (1, 2) + c2 \times (3, k) = (0, 0)$

وتتحول هذه المعادلة إلى:
$c1 + 3c2 = 0$
$2c1 + kc2 = 0$

نحاول حل هذا النظام من المعادلات للعثور على القيم التي تجعله صحيحًا.

نبدأ بطريقة الاستبدال:

من المعادلة الأولى: $c1 = -3c2$

نستبدل قيمة $c1$ في المعادلة الثانية:
$2(-3c2) + k \times c2 = 0$
$-6c2 + kc2 = 0$
$(k – 6)c2 = 0$

لتكون هذه المجموعة تابعة خطياً، فإما أن يكون $c2$ غير صفري، وبالتالي يجب أن يكون $k – 6 = 0$، أو يكون $k$ غير معروف.

يمكننا الآن حساب قيمة $k$ التي تجعل المجموعة تابعة خطياً والتي هي $k = 6$.

بالتالي، تكون المجموعة { (1, 2), (3, k) } تابعة خطياً عندما تكون قيمة $k$ تساوي 6.