حل مسألة: انزلاق السلم والثلاثيات القائمة

السؤال:
هناك سلم يبلغ طوله 22 قدمًا يميل على جدار يكون عموديًا على سطح الأرض. قاع السلم على بُعد 7 أقدام من قاع الجدار. إذا انزلقت قمة السلم 3 أقدام للأسفل، كم ستنزلق قاع السلم؟

الحل:
نستخدم مبدأ الثلاثيات القائمة في المثلث الذي يتكون من السلم والجدار والأرض. في البداية، لنجد طول الجدار باستخدام مبرهنة فيثاغورس:
$\text{طول الجدار} = \sqrt{\text{طول السلم}^2 – \text{الارتفاع}^2}$

حيث:

• طول السلم = 22 قدمًا
• الارتفاع = 7 قدم

$\text{طول الجدار} = \sqrt{22^2 – 7^2} = \sqrt{484 – 49} = \sqrt{435}$

الآن، بمجرد أن نعلم طول الجدار، يمكننا حساب انزلاق قاع السلم بمقدار الانزلاق في قمته. عندما تنزلق القمة بمقدار $3$ أقدام، يصبح طول الجدار الجديد:
$\text{الطول الجديد للجدار} = \sqrt{22^2 – (7 – 3)^2}$

$= \sqrt{22^2 – 10^2} = \sqrt{484 – 100} = \sqrt{384}$

ثم، نحسب الفارق في طول الجدارين:
$\text{الانزلاق في قاع السلم} = \text{الطول الأصلي للجدار} – \text{الطول الجديد للجدار}$

$= \sqrt{435} – \sqrt{384}$

وباستخدام الحاسبة، يمكن حساب هذا الفارق.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مبدأ الثلاثيات القائمة وقانون فيثاغورث. سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل وذكر القوانين المستخدمة:

1. تحديد الأبعاد:

   • السلم (الوتر): $22$ قدمًا
   • الجدار (الضلع الرأسي): غير معروف (سنحسبه)
   • الأرض (الضلع الأفقي): $7$ قدم (المسافة بين قاع السلم وقاع الجدار)

2. استخدام قانون فيثاغورث:
   قانون فيثاغورث يقول إن في المثلث القائم الزاوي، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين.

   $\text{الجدار} = \sqrt{\text{السلم}^2 – \text{الأرض}^2}$
   $\text{الجدار} = \sqrt{22^2 – 7^2} = \sqrt{484 – 49} = \sqrt{435}$

3. تحديد الطول الجديد للجدار بعد الانزلاق:
   عندما تنزلق قمة السلم إلى الأسفل بمقدار $3$ أقدام، نقوم بحساب الجدار مرة أخرى باستخدام فيثاغورث:
   $\text{الجدار الجديد} = \sqrt{22^2 – (7 – 3)^2} = \sqrt{22^2 – 10^2} = \sqrt{484 – 100} = \sqrt{384}$

4. حساب الانزلاق في قاع السلم:
   $\text{الانزلاق في قاع السلم} = \text{الطول الأصلي للجدار} – \text{الطول الجديد للجدار}$
   $= \sqrt{435} – \sqrt{384}$

5. حساب القيم:
   باستخدام الآلة الحاسبة لحساب القيم العددية للتعبير أعلاه.

6. التبسيط إذا لزم الأمر:
   يمكن تبسيط الجذور العددية لتسهيل الحساب.

تم استخدام قوانين الثلاثيات القائمة وقانون فيثاغورث لحساب الأبعاد في المثلث. استخدمنا جدول الضرب والطرح للحسابات الرقمية.

يرجى ملاحظة أن هذا الحل يفترض أن السلم والجدار يشكلان مثلثًا قائم الزاوية، وهو سيناريو شائع في حل مشكلات هندسة المثلثات.