حل مسألة النمو الهندسي باستخدام اللوغاريتمات (مسألة رياضيات)

منذ $x$ سنة، نجح 200 طالب في دورة اللغة الإنجليزية. بعد ذلك، زاد عدد الطلاب الناجحين كل عام بنسبة 50% من عدد السنة السابقة. لذا، العدد الإجمالي للطلاب الناجحين في السنة الحالية هو 675 طالبًا. نحتاج إلى معرفة قيمة $x$.

لنقم بحساب عدد الطلاب الناجحين في السنة الحالية باستخدام المعطيات المعطاة:

في السنة $x + 1$، يكون عدد الطلاب الناجحين هو $200 \times (1 + 0.5)^x$ لأن العدد يزيد بنسبة 50% كل سنة.

وبما أن عدد الطلاب الناجحين في السنة الحالية هو 675، فإننا نحصل على المعادلة التالية:

$675 = 200 \times (1 + 0.5)^x$

الآن، سنقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $x$. لذلك، نبدأ بقسمة العدد 675 على 200:

$\frac{675}{200} = (1 + 0.5)^x$

الآن، نقوم بحساب قيمة $\frac{675}{200}$ التي تساوي 3.375.

$3.375 = (1 + 0.5)^x$

لحساب قيمة $x$، نحتاج إلى استخدام اللوغاريتم الطبيعي:

$\ln(3.375) = x \times \ln(1.5)$

الآن، نقوم بقسمة $\ln(3.375)$ على $\ln(1.5)$ للعثور على قيمة $x$.

$x = \frac{\ln(3.375)}{\ln(1.5)}$

وباستخدام الحاسبة، نحسب قيمة $x$ التقريبية:

$x \approx \frac{1.216}{0.405} \approx 3$

إذاً، القيمة التقريبية لـ $x$ هي 3 سنوات.

لحل المسألة التي تتعلق بعدد الطلاب الناجحين في دورة اللغة الإنجليزية على مدى عدة سنوات، نحتاج إلى استخدام القوانين الخاصة بالنمو الهندسي واللوغاريتمات.

1. نمو هندسي: النمو الهندسي هو نوع من النمو حيث يتضاعف العدد بنسبة مئوية ثابتة كل فترة زمنية محددة. في هذه المسألة، يتزايد عدد الطلاب الناجحين كل عام بنسبة 50% من العدد في العام السابق.

2. لوغاريتم الطبيعي: يستخدم اللوغاريتم الطبيعي (قاعدة اللوغاريتم e) لحساب الزيادة النسبية في كل عام.

الحل:

المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي:

$675 = 200 \times (1 + 0.5)^x$

حيث:

• $200$ هو عدد الطلاب الناجحين في العام الأول (سنة $x$).
• $1 + 0.5$ هو النمو الهندسي، حيث 50% تمثل 0.5.
• $x$ هو عدد السنوات التي مرت منذ بداية الدورة.

لحل المعادلة، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي:

$\ln(675) = \ln(200 \times (1.5)^x)$

نستخدم خاصية اللوغاريتم لضرب:

$\ln(675) = \ln(200) + x \times \ln(1.5)$

ثم نقوم بحساب قيمة $x$ عن طريق قسمة كلا الجانبين على $\ln(1.5)$:

$x = \frac{\ln(675) – \ln(200)}{\ln(1.5)}$

وهذا يعطينا القيمة التقريبية لعدد السنوات $x$.

باختصار، الحل يستند إلى استخدام قوانين النمو الهندسي واللوغاريتمات للوصول إلى القيمة الصحيحة لعدد السنوات $x$ اللازمة للوصول إلى عدد الطلاب الناجحين في السنة الحالية.