حل مسألة النقاط في لعبة النرد (مسألة رياضيات)

يقوم ألي وبيتي بلعب لعبة حيث يتناوبان في رمي النرد القياسي. إذا قامت أحداهن برمي $n$، فسيتم منحها $f(n)$ نقطة، حيث $f(n) = \left\{ \begin{array}{cl} 6 & \text{ إذا كان } n \text{ مضاعف للعددين 2 و 3}, \\ 2 & \text{ إذا كان } n \text{ مضاعفا فقط للعدد 2}, \\ 0 & \text{ إذا كان } n \text{ ليس مضاعفًا للعدد 2}. \end{array} \right.$ ألي تقوم برمي النرد أربع مرات وتحصل على 5، 4، 1، و 2. بيتي تقوم برمي النرد وتحصل على X، 3، 3، و 2. حاصل ضرب مجموع نقاط ألي ومجموع نقاط بيتي يساوي 32. ما قيمة المتغير الغير معروف X؟

لنحسب نقاط ألي:

إذاً، مجموع نقاط ألي هو:

الآن، نحتاج إلى محساب نقاط بيتي، لكننا لا نعرف قيمة X بعد.

لكن حاصل ضرب نقاطها مع نقاط ألي يساوي 32. لذا، نقدر المعادلة التالية:

من هنا نجد أن:

الآن، علينا أن نجد قيمة X. للقيام بذلك، يجب أن نعرف قيمة f(X).

لأنه لا يُعطى لنا قيمة f(X) مباشرة، يجب أن نفكر في الشروط التي تجعل القيمة تساوي 3. وفقًا للتعريف الذي قدمته في المسألة، يجب أن يكون X مضاعفًا لـ 3 فقط.

بالتالي، يتبع أن f(X) = 0. فإذاً:

ومن المعادلة التي تمثل حاصل ضرب نقاط ألي ونقاط بيتي والتي تساوي 32، نحصل على:

وهذا خاطئ. لذا، يجب أن نقوم بإعادة التحقق من حساباتنا.

الخطأ هو أننا قد قدمنا تقديرًا خاطئًا لعدد نقاط بيتي. والسبب في ذلك هو أننا افترضنا أن القيمة المجهولة X تجعل f(X) تساوي 0، ولكن هذا ليس بالضرورة الصحيح.

بدلاً من ذلك، علينا أن نفكر في القيم الممكنة لـ X بحيث f(X) تساوي 2، لأنه إذا كان X مضاعفًا للعدد 2 فقط، فإن f(X) سيساوي 2.

لذا، يمكننا تقسيم النقاط بيتي إلى جزئين: الجزء الذي يأتي من X والجزء الذي يأتي من الأرقام المعروفة.

نعرف أن:

إذاً:

الآن، لدينا:

مما يعني:

بعد القيام بالعمليات الحسابية، نحصل على:

ومن ثم:

وأخيرًا:

لكن هذا غير ممكن، لأن الوظيفة $f(n)$ لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة. لذا، خطأ بالحسابات.

الخطأ يكمن في افت

لحل المسألة، نحتاج أولاً إلى حساب نقاط كل لاعب ثم إيجاد القيمة المناسبة للمتغير الغير معروف X.

لنستخدم القوانين التالية في الحل:

1. قانون الوظيفة $f(n)$: وهو القانون الذي يحدد كيفية حساب النقاط بناءً على قيمة العدد المرمي.

2. قانون حساب النقاط الكلية: حيث نجمع نقاط كل لاعب على حسب القانون المعطى.

3. قانون حساب النقاط المجموعة: وهو قانون ينص على ضرب نقاط كل لاعب للحصول على الناتج المطلوب.

الآن، دعونا نقوم بحساب نقاط كل لاعب:

أولاً، نقاط ألي:
$f(5) = 0, \quad f(4) = 2, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 2$
إذاً، مجموع نقاط ألي هو:
$0 + 2 + 0 + 2 = 4$

ثانياً، نحتاج إلى حساب نقاط بيتي. ولكن بما أننا لا نعرف قيمة X، فسنفترض أن $X$ هو المتغير الذي نبحث عنه.

لكن حاصل ضرب نقاط كل لاعب معاً يساوي 32. لذا، نحن نعرف المعادلة التالية:
$4 \times (\text{نقاط بيتي}) = 32$
مما يعطينا:
$\text{نقاط بيتي} = \frac{32}{4} = 8$

الآن، للعثور على قيمة $X$، يجب أن نعرف قيمة $f(X)$.

وهنا يأتي دور تحديد قيمة $f(X)$. ونظراً لأننا لا نعرف قيمة $X$ بعد، يجب أن نفكر في الشروط التي تجعل $f(X) = 2$. ووفقاً للتعريف المعطى في المسألة، فإن $X$ يجب أن يكون مضاعفًا فقط للعدد 2. لذا $f(X) = 2$.

لذا، يمكننا كتابة معادلة لنقاط بيتي على النحو التالي:
$\text{نقاط بيتي} = f(3) + f(3) + f(2) + f(X) = 6 + 6 + 2 + 2 = 16$

والآن، نستخدم قانون حساب النقاط المجموعة، حيث يكون حاصل ضرب نقاط كل لاعب يساوي 32:
$4 \times 4 \times 16 = 32$
وهذا يعطينا:
$64 = 32$
هذا يظهر أن هناك خطأ في الحسابات.

الخطأ يكمن في تقديرنا لقيمة $f(X)$. نحتاج إلى إعادة التفكير في قيمة $X$ وكيفية حساب $f(X)$ بشكل صحيح، للتأكد من أننا نحصل على نتائج صحيحة.