حل مسألة النسب والضرب المشترك (مسألة رياضيات)

نعتبر رقمين في نسبة 3:4، وإذا كان الضرب المشترك الأصغر (lcm) بينهما يساوي 84، فما هو مجموع هذين الرقمين؟

لنفترض أن الرقمين هما 3x و4x، حيث x هو عامل مشترك للرقمين. الآن، يمكننا إعداد المعادلة باستخدام الضرب المشترك الأصغر:

$\text{lcm}(3x, 4x) = 84$

الضرب المشترك الأصغر يكون عبارة عن ضرب العوامل الأولية للأعداد المعنية بأكبر أضعافها. في هذه الحالة:

$\text{lcm}(3x, 4x) = \frac{{3 \cdot 4 \cdot x}}{{\text{gcd}(3, 4)}}$

حيث gcd هو أكبر مضاعف مشترك. في حالتنا، $\text{gcd}(3, 4) = 1$ لأن 3 و 4 لا تشتركان في عواملهما الأولية. لذا، نحصل على المعادلة:

$\frac{{3 \cdot 4 \cdot x}}{1} = 84$

الآن نقوم بحساب قيمة x:

$12x = 84$

$x = \frac{84}{12}$

$x = 7$

الآن نستخدم القيمة التي حصلنا عليها للعثور على الرقمين الأصليين:

الرقم الأول: $3x = 3 \cdot 7 = 21$

الرقم الثاني: $4x = 4 \cdot 7 = 28$

المجموع: $21 + 28 = 49$

إذاً، مجموع الرقمين هو 49.

في حل المسألة، استخدمنا العديد من القوانين الرياضية والخطوات الرياضية للوصول إلى الإجابة. القوانين التي تم استخدامها تشمل:

1. نسبة الأعداد:
   إذا كانت الأعداد في نسبة 3:4، يمكن تمثيلها بالتالي:
   الرقم الأول: $3x$
   الرقم الثاني: $4x$
   حيث $x$ هو مضاعف مشترك.

2. الضرب المشترك الأصغر (lcm):
   نستخدم مفهوم الضرب المشترك الأصغر للعثور على عامل مشترك بين الأعداد.

3. معادلة الضرب المشترك الأصغر:
   نستخدم معادلة تمثل الضرب المشترك الأصغر باستخدام العوامل الأولية وأكبر أضعاف للأعداد.

4. حساب العامل المشترك:
   باستخدام معادلة الضرب المشترك الأصغر، نحسب القيمة المطلوبة.

5. حل المعادلة الأساسية:
   بعد العثور على العامل المشترك، نستخدمه في حل المعادلة الأساسية للعثور على قيمة $x$.

6. استخدام $x$ للعثور على الأعداد الأصلية:
   بعد الحصول على قيمة $x$، نستخدمها للعثور على الرقمين الأصليين.

7. المجموع:
   نجمع الرقمين الأصليين للحصول على المجموع النهائي.

تمثل هذه الخطوات العملية التي تم اتباعها في الحل، وتعتمد على مفاهيم الجبر والأعداد. تكمن الفكرة الأساسية في استخدام النسبة والعوامل المشتركة للوصول إلى الإجابة بطريقة منطقية ورياضية.