حل مسألة النسب بالجبر

إذا كانت $2a = 3b$ وبشرط أن $ab ≠ 0$، فما هو نسبة $a/3$ إلى $b/2$؟

في هذه المسألة، نقوم بتجسيد العلاقة بين الأعداد $a$ و $b$ من خلال المعادلة $2a = 3b$، حيث يُفترض أن تكون قيم $a$ و $b$ تحقق هذه العلاقة.

لنقم بإعادة صياغة المسألة بشكل متكامل:

في علاقة رياضية، إذا كانت $2a$ تساوي $3b$ وبشرط أن الضرب $ab$ لا يكون صفر، يطرح سؤال حول النسبة بين قيمتي $a$ و $b$. هل يمكننا فهم هذه النسبة بشكل أفضل؟

الآن، لنقم بحساب النسبة المطلوبة $a/3$ إلى $b/2$. للقيام بذلك، يمكننا تقسيم كل جهة من الكسر الأول على $3$ والكسر الثاني على $2$، للوصول إلى النسبة المطلوبة.

لنقم بحساب ذلك:

$\frac{a}{3} \div \frac{b}{2} = \frac{a}{3} \times \frac{2}{b}$

الآن نقوم بإلغاء القيم المشتركة بين البسط والمقام:

$= \frac{2a}{3b}$

وهذا هو الناتج النهائي للنسبة المطلوبة. إذا كنا نعلم أن $2a = 3b$، فيمكننا استخدام هذه العلاقة لتبسيط النسبة:

$= \frac{2a}{3b} = \frac{2 \times 2a}{3 \times 2b} = \frac{4a}{6b}$

وباختصار، يمكننا تقليل الكسر إلى أبسط شكل:

$= \frac{2}{3}$

إذا كانت $2a = 3b$ و $ab ≠ 0$، فإن نسبة $a/3$ إلى $b/2$ تكون $2/3$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الأساسية للجبر وحساب النسب. دعونا نعيد صياغة المسألة ونقوم بحلها بشكل أكثر تفصيلاً.

المعطيات:
$2a = 3b \quad \text{و} \quad ab \neq 0$

الهدف:
$\frac{a}{3} : \frac{b}{2}$

للوصول إلى الهدف، سنقوم بتطبيق الخطوات التالية:

1. استنتاج قيمة a بناءً على العلاقة:
$2a = 3b \implies a = \frac{3}{2}b$

2. استخدام هذه القيمة في حساب النسبة المطلوبة:
$\frac{a}{3} : \frac{b}{2} = \frac{\frac{3}{2}b}{3} : \frac{b}{2}$

3. تبسيط النسبة:
قم بتبسيط الكسور في النسبة المطلوبة.

$\frac{\frac{3}{2}b}{3} : \frac{b}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{3} : \frac{1}{2}$

4. ضرب البسط والمقام بمعامل مشترك لتبسيط النسبة:
$\frac{\frac{3}{2}}{3} : \frac{1}{2} = \frac{\frac{3}{2} \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6}$

5. تبسيط الناتج النهائي:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

قوانين الجبر والحساب المستخدمة:

1. تجسيد العلاقة بين a و b:
$2a = 3b \implies a = \frac{3}{2}b$

2. حساب النسب:
$\frac{a}{3} : \frac{b}{2} = \frac{\frac{3}{2}b}{3} : \frac{b}{2}$

3. تبسيط الكسور:
استخدام قوانين تبسيط الكسور لتبسيط النسبة.

4. ضرب البسط والمقام بمعامل مشترك:
لتبسيط النسبة المستخدمة في حالتنا.

5. تبسيط الناتج النهائي:
تبسيط النسبة النهائية للوصول إلى الإجابة النهائية.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تمكنا من حساب النسبة المطلوبة والتوصل إلى الإجابة النهائية التي هي $\frac{1}{2}$.