حل مسألة النرد السداسي: احتمالات الأعداد الفردية (مسألة رياضيات)

لنلقي نظرة على المسألة الرياضية المطروحة:

لدينا قاعدة نراقب فيها إلقاء النرد السداسي الوجه 5 مرات، ونريد حساب احتمالية الحصول على عدد فردي في 4 من إلقاءات النرد المتغيرة X.

لنقم بتحديد الاحتمالية المطلوبة. نعلم أن هناك ثلاثة أرقام فردية على النرد (1، 3، 5) وثلاثة أرقام زوجية (2، 4، 6). إذاً، الاحتمالية المطلوبة للحصول على عدد فردي في إلقاء واحد هي 3/6، أو 1/2.

الآن، نريد حساب الاحتمالية الكلية للحصول على عدد فردي في 5 إلقاءات. يمكننا استخدام قاعدة حساب الاحتمالات لذلك. لنحسب:

$P(X) = C(5, X) \times \left(\frac{1}{2}\right)^X \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5-X}$

حيث $C(5, X)$ هو عدد الطرق الممكنة لاختيار X من بين 5، وهو يساوي $\frac{5!}{X!(5-X)!}$.

وفي هذه المسألة، نعلم أن هذه الاحتمالية تساوي 32. لذا، نقوم بحل المعادلة:

$C(5, X) \times \left(\frac{1}{2}\right)^X \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5-X} = 32$

بمعالجة الأعداد والتبسيط، نحصل على المعادلة:

$\frac{5!}{X!(5-X)!} \times \left(\frac{1}{2}\right)^X \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5-X} = 32$

لنقم بتبسيط الأسس:

$\frac{5!}{X!(5-X)!} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 32$

الآن، نحل المعادلة للعثور على قيمة X:

$\frac{120}{X!(5-X)!} \times \frac{1}{32} = 1$

$\frac{120}{X!(5-X)!} = 32$

$\frac{120}{32} = X!(5-X)!$

$\frac{15}{4} = X!(5-X)!$

بعد تحليل الأعداد، نجد أن X يمكن أن يكون 3. إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 3.

لنقم بحساب الاحتمالية باستخدام قوانين حساب الاحتمالات وتطبيقها على المسألة المطروحة. سنستخدم قانون الاحتمالات وقاعدة التكامل للوصول إلى الإجابة.

في البداية، نعلم أن هناك ثلاثة أرقام فردية على النرد (1، 3، 5) وثلاثة أرقام زوجية (2، 4، 6). وبما أن النرد عادل (fair)، فإن احتمالية الحصول على عدد فردي في إلقاء واحد هي 3/6 أو 1/2.

الآن، سنستخدم قاعدة حساب الاحتمالات لحساب الاحتمالية الكلية للحصول على عدد فردي في 5 إلقاءات. يمكننا استخدام التالي:

$P(X) = C(5, X) \times \left(\frac{1}{2}\right)^X \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5-X}$

حيث $C(5, X)$ هو عدد الطرق الممكنة لاختيار X من بين 5، وهو يساوي $\frac{5!}{X!(5-X)!}$.

إذاً، الاحتمالية الكلية للحصول على عدد فردي في 5 إلقاءات هي:

$P(X) = \frac{5!}{X!(5-X)!} \times \left(\frac{1}{2}\right)^X \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5-X}$

ونعلم أن هذه الاحتمالية تساوي 32، لذا:

$\frac{5!}{X!(5-X)!} \times \left(\frac{1}{2}\right)^X \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5-X} = 32$

الآن، نقوم بتبسيط الأسس:

$\frac{120}{X!(5-X)!} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 32$

ثم نقوم بحساب القيم:

$\frac{120}{X!(5-X)!} = 32$

ونبسط المعادلة:

$\frac{120}{32} = X!(5-X)!$

$\frac{15}{4} = X!(5-X)!$

وهنا قانون حساب الاحتمالات يأتي للمساعدة. نقوم بتحليل المعادلة للعثور على قيمة X:

$\frac{15}{4} = X!(5-X)!$

الآن، نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة X. نعلم أن العوامل في المعادلة هي 15 و 4، لذا الخيارات الممكنة لـ X هي 3. إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 3.

لذا، القوانين المستخدمة هي قانون حساب الاحتمالات وقاعدة التكامل، وتمثيل المسألة بطريقة تسهل حساب الاحتمالات بشكل دقيق ودقيق.